Zwei Beweise zu endlichen regelmäßigen Kettenbrüchen

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Tobias83 Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Beweise zu endlichen regelmäßigen Kettenbrüchen
Hallo Zusammen,

ich habe folgende Definition eines regulären endlichen Kettenbruches


Dabei ist und . Die mit für werden Teilquotient der Zahl x genannt.

Ein ausgeschriebener Kettenbruch, egal ob er endlich oder unendlich ist, benötigt viel Platz, daher ist auf folgende kanonische Schreibweise für einen endlichen Kettenruch gebräuchlich. Für einen endlichen Kettenbruch schreiben wir in der kanonischen Schreibweise .

Nun habe ich noch folgendes Lemma
Für alle endlichen Kettenbrüche gilt

und diesen Satz

Für jeden endlichen Kettenbruch existiert eine Zahl

Das Lemma und den Satz möchte ich nun beweisen

Für den Beweis von den Lemma würde ich so vorgehen



Wobei bei jedem "=" die Definition die oben steht angewendet wird.

Den Satz würde ich mit einer Vollständigeninduktion über die Anzahl der Glieder durchführen.

IA: Es sei i=1 dann gilt

Mit sowie

IV: Für ein i mit 0<i<n gilt die Behauptung.

IS: zz. für i+1 gilt die Behauptung
Sei

Da ich ja jetzt wieder i Glieder habe kann ich meine IV anwenden und wäre fertig wenn ich es Ausformuliere.

Nun zu meinen Fragen:
Sind meine Beweisideen so OK?
und kann ich die IV so formulieren? Ich habe leider noch nie über eine endliche Menge eine Induktion durchgeführt.

Viele Grüße Tobias
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne deinen Beitrag schon komplett durchgelesen zu haben muss ich hier sofort einhaken:

Zitat:
Original von Tobias83
Für alle endlichen Kettenbrüche gilt

Irgendwas ist doch hier und bei ähnlichen Aussagen danach oberfaul: Rechts werden die Werte einfach "weggewischt" - kann nicht stimmen. unglücklich

Ich würde allenfalls bei mitgehen, im Fall aber keinesfalls deiner Gleichung zustimmen.
 
 
Tobias83 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Irgendwas ist doch hier und bei ähnlichen Aussagen danach oberfaul: Rechts werden die Werte einfach "weggewischt" - kann nicht stimmen. unglücklich Ich würde allenfalls bei


Da hast Du absolut recht. Ich habe beim Formulieren meiner Frage bei der Gleichung nicht aufgepasst, dass die Indices stimmen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias83
und diesen Satz

Für jeden endlichen Kettenbruch existiert eine Zahl

"... die gleich dem Kettenbruch ist" - so lautet der Satz wohl komplett.

Naja, ist mit dem Lemma geradezu eine Trivalität, beweisbar per vollständiger Induktion über .
Tobias83 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gestern wegen Vorlesungen leider keine Zeit mehr gehabt daher erst jetzt meine Lösungsidee:

IA: Es sei i=1
Dan erhalte ich
=
Da 1 und ist

IV: Für ein i mit 0< i <n+1 gilt die Behauptung
Hier habe ich das Problem wie ich die Obergrenze einfließen lasse. Da im unendlichen Fall die Zahl die durch den Kettenbruch dargestellt wir irrational ist

IS: Sei i=n+1
Dann erhalte ich

Das Lemma liefert

Die IV liefert dann

Daraus folgt dann
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Anmerkungen:

1) Du meinst sicher statt , denn wieso soll der Index am Ende plötzlich rückwärts laufen? unglücklich

2) Ich hätte den Induktionsanfang gleich bei gemacht, ist noch einfacher: ist ganzzahig und damit auch rational, Punkt.


EDIT: Beim nochmaligen Durchlesen fällt mir noch eine Ungereimtheit in deinen Ausführungen auf:

3) Deine seltsam gemischte Verwendung von und ist komplett intransparent. Streich das , und mach die klare Ansage:

Die Induktion findet über die Länge (= Anzahl Glieder) des Kettenbruchs statt. In dem Sinne hat dann

die Länge und die Länge .


Was ändert das in der Induktion?

Der Induktionsanfang ist dann tatsächlich mit dem Kettenbruch .

Und im Induktionsschritt wird via genutzt, dass der Nenner-Kettenbruch nur Länge hat und dass deshalb auf ihn die Induktionsvoraussetzung anwendbar ist.
Tobias83 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL 9000
Zu deiner ersten Anmerkung. SORRY das ich so blind war den Fehler nicht zu sehen.

Deine dritte Anmerkung hilft mir schon sehr viel weiter.

Die Inkonsistenz mit den Indices n und i stammt daher, dass ich keine exakte Ahnung habe wie ich die maximale Anzahl der Glieder begrenze da sie ja nicht unendlich sind.
Denn wenn ich nicht sage, dass bzw. gilt hätte ich ja unendlichen Kettenbruch und der wäre ja irrational.
Also muss ich ja irgenwie mein n beschränken. Aber wie?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias83
Denn wenn ich nicht sage, dass bzw. gilt hätte ich ja unendlichen Kettenbruch und der wäre ja irrational.
Also muss ich ja irgenwie mein n beschränken. Aber wie?

Du redest wirr - ist das die Hitze? Erstaunt1

ist eine natürliche Zahl, und als solche selbstverständlich "endlich". Da gibt es nichts zu begrenzen, du siehst da ein Problem, was überhaupt nicht besteht.


Wenn du wirklich einen unendlichen Kettenbruch kennzeichnen willst, dann doch wohl über , aber keinesfalls mit einem echten Ende wie bei , letzteres ist IMMER ein endlicher Kettenbruch!
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