Rekursion/Rekurrenzgleichung

27.06.2019, 15:43	wizerikson	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursion/Rekurrenzgleichung Meine Frage: Hallo! Kann mir jemand helfen dieses Beispiel (im Anhang) zu lösen? Es handelt sich um eine Folge (an) die rekursiv definiert ist. an := n für n=0 sowie n=1 an := 5an-1 - 6an-2 für n >= 2 Meine Ideen: Meine Idee wäre durch Iteration auf eine explizite Formel für an zu kommen und diese dann durch vollständige Induktion beweisen (wie in der Angabe vorgegeben). Jedoch verstehe ich nicht, wie man auf eine explizite Formel für an kommt, also die Iteration. Danke für eure Hilfe
27.06.2019, 15:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Theorie der Linearen Differenzengleichungen lässt einen zuerst die charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray} 0 = \lambda^2-5\lambda+6 = (\lambda-2)(\lambda-3) \end{eqnarray}$ betrachten, woraus die explizite Folgendarstellung $\begin{eqnarray} a_n = C_1 2^n + C_2 3^n \end{eqnarray}$ folgt, mit aus den Anfangswerten bestimmbaren Konstanten $\begin{eqnarray} C_1,C_2 \end{eqnarray}$ . Aber womöglich kommt man auch mit "Raten" drauf.
27.06.2019, 16:38	wizerikson	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher, was mit den Konstanten C1 und C2 gemeint ist. a0 = 0 a1 = 1 a2 = 5 a3 = 19 a4 = 65 n = 0: 0 = c12^0 + c2 3^0 n = 1: 1 = c12^1 + c2 3^1 n = 2: 5 = c12^2 + c2 3^2 n = 3: 19 = c12^3 + c23^3 n = 4: 65 = c12^4 + c23^4 Also damit ich auf die Konstanten c1, c2 komme, muss ich dieses Gleichungssystem lösen?
27.06.2019, 16:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten beiden Zeilen sollten reichen - die anderen sind natürlich auch erfüllt, aber für die Ermittlung $\begin{eqnarray} C_1,C_2 \end{eqnarray}$ redundant.
27.06.2019, 17:02	wizerikson	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
27.06.2019, 17:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und? Welche explizite Formel für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ hast du letztlich ermittelt?
Anzeige

27.06.2019, 17:25	wizerikson	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Lösung ist: c1 = -1 c2 = 1 an = -1 * 2^n + 1 * 3^n Probe: a2 = 5 a2 = -1 * 2^2 + 1 * 3^2 a2 = -4 + 9 a2 = 5
27.06.2019, 18:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Oder kurz und griffig geschrieben: $\begin{eqnarray} a_n=3^n-2^n \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »