Globales Extremum bei mehrdimensionaler Funktion

27.06.2019, 19:04	LaLiLuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Globales Extremum bei mehrdimensionaler Funktion Meine Frage: Hallo! Ich soll für folgende Funktion alle lokalen und globalen Extrema angeben, g:R^3-> R, g(x,y,z)= x^2 + 2y^2 + 3z^2 -2xy +2yz -6x+ 2z. Ich habe schon ausgerechnet, dass g ein striktes lokales Minimum bei (8,5,-2) hat und ich habe die Vermutung, dass dies auch ein globales Minimum ist. Meine Ideen: Ich habe leider nicht wirklich eine Ahnung, wie ich das zeigen kann. Das einzige was in der Vorlesung zu globalen Extrema gesagt wurde, ist, dass man sich den Rand anschauen muss. Heißt das, dass ich x,y und z in allen möglichen Kombinationen nach +unendlich und - unendlich schicken muss?
27.06.2019, 19:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Quadrate sind was feines... $\begin{eqnarray} g(x,y,z) = (x-y-3)^2 + (y+z-3)^2 + 2(z+2)^2 - 26 \end{eqnarray}$ Entweder "sieht" man es, oder man entwickelt es systematisch per Hauptachsentransformation.
27.06.2019, 20:01	LaLiLuu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Quadrate sind was feines... Vielen Lieben Dank! Da hätte ich vermutlichsehr lange draufschauen müssen, um das zu sehen^^'
27.06.2019, 21:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu noch eine "Sehhilfe": Du hast ja den lokalen Minimumpunkt $\begin{eqnarray} (8,5,-2) \end{eqnarray}$ angegeben. Diesen nutzend bekommt man $\begin{eqnarray} g(a+8,b+5,c-2) = a^2-2ab+2b^2+2bc+3c^2-26 \end{eqnarray}$ Schrittweise bekommt man dann weiter $\begin{eqnarray} g(a+8,b+5,c-2) = (a-b)^2 + b^2+2bc+3c^2-26 = (a-b)^2 + (b+c)^2 + 2c^2-26 \end{eqnarray}$ . "Rücksubstituiert" $\begin{eqnarray} a=x-8,b=y-5,c=z+2 \end{eqnarray}$ gelangt man dann zu der von mir oben genannten Darstellung.

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