Kompaktheit (Teilmenge, topologischer Raum)

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blabliblubbbb Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit (Teilmenge, topologischer Raum)
Meine Frage:
Seien X ein topologischer Raum und A ? X. Zeigen Sie:
Der topologische Raum A (versehen mit der induzierten Topologie) ist genau dann
kompakt, wenn A eine kompakte Teilmenge von X ist.


Also A als Teilmenge von X ist dann kompakt, wenn jede Überdeckung von A durch A-offene Mengen eine endliche Überdeckung erfährt

ich komm hier leider absolut nicht weiter...

Meine Ideen:
ist offen bezüglich der Topologie T, wenn offen in X mit
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RE: Kompaktheit (Teilmenge, topologischer Raum)
Du hast das wichtigste schon in deiner Idee beschrieben, der Rest ist praktisch nur Anwenden der Definition.
Nehmen wir mal an, A ist ein kompakter topologischer Raum.
Was muss gelten, damit A eine kompakte Teilmenge von X ist?
 
 
blabliblubbbb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompaktheit (Teilmenge, topologischer Raum)
A ist kompakter topologischer Raum
Sei offen bezüglich X und offene Überdeckung von A
=>
=> =:
der Schnitt aus und A, also ist offen bezüglich A und da A kompakter topologischer Raum ist, gibt es endlich viele Teilüberdeckungen, die den Schnitt überdecken.
Daher ist auch durch endlich viele Teilüberdeckungen überdeckt, denn jedes ist ein geschnitten A
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RE: Kompaktheit (Teilmenge, topologischer Raum)
Gut angefangen, aber am Ende wird es recht konfus. mit .
A ist kompakter Raum, also reichen endlich viele zur Überdeckung: . Wegen ist dann erst recht . Also ist A kompakte Teilmenge von X
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