Polynom vom Grad n hat maximal n Nullstellen

28.06.2019, 12:18

Corollary

Polynom vom Grad n hat maximal n Nullstellen

Meine Frage:
Grüß Gott,

könnt ihr mir sagen, ob der im Titel angedeutete Satz einen Namen hat?

Und gilt der Satz auch, wenn ich ein Polynom nicht über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachte, sondern über einem beliebigen Körper oder gar Ring?

Meine Ideen:
Das ist ja nicht der Fundamentalsatz der Algebra. Der besagt ja, dass ein komplexes Polynom vom Grad n>=1 mindestens 1 komplexe Nullstelle hat.

28.06.2019, 13:01

KeinGastMehr

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Hallo,

meines Wissens nach hat der Satz keinen Namen. Er gilt ebenfalls über Integritätsbereichen, aber weder über kommutativen Ringen mit Nullteilern, noch über nicht-kommutativen Ringen. Als Gegenbeispiele betrachte

$\begin{eqnarray*} 2X \in \mathbb Z/4\mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ , was die Nullstellen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat.
$\begin{eqnarray*} X^2+1 \in \mathbb H [X] \end{eqnarray*}$ (hier bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathbb H \end{eqnarray*}$ den Schiefkörper der Quaternionen) hat unter anderem die Nullstellen $\begin{eqnarray*} i, -i, j, -j, ij, -ij \end{eqnarray*}$ . In Wirklichkeit hat dieses Polynom sogar unendlich viele Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb H \end{eqnarray*}$ .

28.06.2019, 13:16

Corollary

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Dankeschön!

Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Also für zwei Ringelemente a, b gilt ab = 0 nur, wenn mindestens eines von beiden 0 ist, oder? Und es gibt ein Element 1, so dass 1a = a?

Ist das richtig?

28.06.2019, 13:28

KeinGastMehr

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Zitat:

Original von Corollary
Dankeschön!

Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Also für zwei Ringelemente a, b gilt ab = 0 nur, wenn mindestens eines von beiden 0 ist, oder?

Richtig.

Zitat:

Original von Corollary
Und es gibt ein Element 1, so dass 1a = a?

Ist das richtig?

Wenn man es für alle Ringelemente $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ fordert, dann ja.

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