Polynom vom Grad n hat maximal n Nullstellen

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Corollary Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom vom Grad n hat maximal n Nullstellen
Meine Frage:
Grüß Gott,

könnt ihr mir sagen, ob der im Titel angedeutete Satz einen Namen hat?

Und gilt der Satz auch, wenn ich ein Polynom nicht über oder betrachte, sondern über einem beliebigen Körper oder gar Ring?

Meine Ideen:
Das ist ja nicht der Fundamentalsatz der Algebra. Der besagt ja, dass ein komplexes Polynom vom Grad n>=1 mindestens 1 komplexe Nullstelle hat.
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meines Wissens nach hat der Satz keinen Namen. Er gilt ebenfalls über Integritätsbereichen, aber weder über kommutativen Ringen mit Nullteilern, noch über nicht-kommutativen Ringen. Als Gegenbeispiele betrachte
  • , was die Nullstellen und in hat.
  • (hier bezeichnet den Schiefkörper der Quaternionen) hat unter anderem die Nullstellen . In Wirklichkeit hat dieses Polynom sogar unendlich viele Nullstellen in .
 
 
Corollary Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!

Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Also für zwei Ringelemente a, b gilt ab = 0 nur, wenn mindestens eines von beiden 0 ist, oder? Und es gibt ein Element 1, so dass 1a = a?

Ist das richtig?
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Corollary
Dankeschön!

Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Also für zwei Ringelemente a, b gilt ab = 0 nur, wenn mindestens eines von beiden 0 ist, oder?


Richtig.


Zitat:
Original von Corollary
Und es gibt ein Element 1, so dass 1a = a?

Ist das richtig?


Wenn man es für alle Ringelemente fordert, dann ja.
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