Beweis für eine Gerade im zweidimensionalen Raum

28.06.2019, 13:23

B3rlin3r23

Beweis für eine Gerade im zweidimensionalen Raum

Moin,

ich habe einige Frage zu einer Aufgabe aus meiner Geometrie-Vorlesung:

Aufgabe:

"Gegeben seien zwei Punkte $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ der Euklidischen Ebene wobei $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch x und y die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist.

b) Zeigen Sie, dass es sich bei der folgenden Menge um eine Gerade handelt: $\begin{eqnarray*} M=\left\{ z\in R^{2}|d(x,z)=d(z,y)\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

a) Die Euklidische Ebene wurde definiert mit den Geraden g=(1-t)x+ty. Da die Punkte x und y aus jeweils zwei Koordinaten bestehen, ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten x1,x2,y1 und y2. Ist dieser Ansatz erstmal richtig? Die Frage wäre wie ich hier weiterzugehen habe. Da t eine Variable ist, macht es eigentlich ja wenig Sinn das Gleichungssystem nach t aufzulösen.

b) Über die Definition des Euklidischen Abstandes kann man eventuell einen Zusammenhang zu a) erbringen. Wende ich den auf die definierte Gerade an erhalte ich schon mal $\begin{eqnarray*} 2z1(y1-x1)+2z2(y2-x2)=y1^{2}+y2^{2}-x1^{2}-x2^{2} \end{eqnarray*}$

28.06.2019, 14:06

mYthos

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a)
Nicht richtig. Die Unbekannten sind NICHT die Koordinaten der Punkte, diese sind ja gegeben!
Vielmehr sind die beiden Unbekannten die laufenden Koordinaten (x, y) aller Punkte auf der gesuchten Geraden.

b)
Da gilt Ähnliches. Die gesuchte Gerade ist die Mittenparallele z und deren Punkte haben wiederum die laufenden Koordinaten (x,y)

mY+

28.06.2019, 15:19

B3rlin3r23

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Zitat:

Original von mYthos
a)
Nicht richtig. Die Unbekannten sind NICHT die Koordinaten der Punkte, diese sind ja gegeben!
Vielmehr sind die beiden Unbekannten die laufenden Koordinaten (x, y) aller Punkte auf der gesuchten Geraden.

b)
Da gilt Ähnliches. Die gesuchte Gerade ist die Mittenparallele z und deren Punkte haben wiederum die laufenden Koordinaten (x,y)

mY+

Danke schon mal.
Ich glaube mein Problem ist, dass ich mit der gegebenen Definition nicht arbeiten kann, da die Menge der Punkte der Geraden nicht als Gleichung formuliert sind. Also habe ich jetzt mal eine andere Definition für die Geraden (die ich mir mal aus einer Vorlesung vor einem Jahr gepickt habe) verwendet:

$\begin{eqnarray*} g_{a,b,c}=\left\{ (x,y)\in \mathbb R ^{2}|ax+by=c \right\} \end{eqnarray*}$

Da ich zwei Punkte (x1,y1) und (x2,y2) gegeben habe, kann ich zwei Gleichungen bilden:

$\begin{eqnarray*} I. ax_{1} +by_{1}=c<br /> II. ax_{2}+by_{2}=c \end{eqnarray*}$

Dann habe ich b=1 gesetzt und als Lösungen $\begin{eqnarray*} a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{1}-x_{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{1}-x_{2}}\cdot x_{1}+y_{1} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Zu b:
Ich arbeite mit derselben Definition und setze die Definition des euklidischen Abstandes ein und erhalte
$\begin{eqnarray*} M=\left\{ (z_{x},z_{y})\in \mathbb R ^{2}|(y_{1}-x_{1})\cdot z_{x}+(y_{2}-x_{2})\cdot z_{y}=\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{2} \right\} \end{eqnarray*}$
Deren Menge ich wieder auf die obige Definition zurückführen kann.
______________

Natürlich macht die erste Definition genauso Sinn. Ich habe es nur geschafft x und y als Koordinaten eines Punkte und nicht als zwei Punkte zu betrachten, weswegen ich die Darstellung nicht verstanden habe.

28.06.2019, 16:04

mYthos

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Die zweite Variante hat den Nachteil, dass alle drei Konstanten a, b, c unbekannt sind und man infolge der Proportionalität bei der Geradengleichung eine der drei wählen muss.
Und nicht immer ist eine beliebige der drei wählbar, nämlich dann, wenn diese nur den Wert Null haben kann.
---------

Dies wird mit dem Ansatz (1 - t)x +ty = c umgangen* (ich wähle hier bewusst die Bezeichnung c anstatt g, weil dies eine Konstante ist, dieselbe wie in deinem Ansatz oben).

Setze nun dort die Koordinaten der beiden gegebenen Punkte ein und es ist ein lGS in den Variablen t und c zu lösen.

(*) Damit wird a + b = 1 gesetzt

Beispiel: A(1; 2); B(4; 7)

(1) (1 - t) + 2t = c
(2) (1 - t)*4 + 7t = c
-------------------------
...
t = -3/2; c = -1/2
->>
g: 5x - 3y = -1

Ein anderer Weg führt über eine Parameterdarstellung und anschließender Elimination des Parameters.

mY+

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