Integral von r×(1-r/R)^(1/7) in den Grenzen 0 bis R

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Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von r×(1-r/R)^(1/7) in den Grenzen 0 bis R
Hallo Matheboard,

Stehe vor folgendem Problem:
Zwecks berechnung eines Strömungsproblems, soll ich folgendes Intefral lösen:



Ich erhalte als Lösung mit Hilfe von Substitution immer wieder das Ergebnis


Ich weiß dass das falsch ist. Denn die Lösung lautet:


Ich habe es jetzt schon 10 mal durchgerechnet und komme einfach nicht drauf wo ich den Fehler mache.

Kann einer von euch mal nachrechnen und schauen was er rausbekommt?

Danke

Gruß

Salty
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Saltydog
Ich habe es jetzt schon 10 mal durchgerechnet und komme einfach nicht drauf wo ich den Fehler mache.

Dann schreib deinen Lösungsweg hier hin, und wir finden dann den Fehler. Jedenfalls ist richtig.

Irgendwie sieht es so aus, als hast du irgendwo statt gerechnet, d.h., ein Vorzeichenfehler.
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hier mein Lösungsweg:


PS: Mit welchem Latex-Befehl wird hier \flushleft ersetzt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dir das Leben selbst schwer gemacht, indem du ungeschickter- und unnötigerweise Potenzen mit negativen Basen und gebrochenen Exponenten eingeführt hast. Eine Weile ist das gut gegangen, aber in der drittletzten Zeile hat der Fehlerteufel dann doch zugeschlagen:

Richtig ist statt des falschen . unglücklich

Mit Substitution oder vielleicht noch besser gibt es viel weniger Ärger mit den Vorzeichen:

Letzteres ergibt und damit , und damit könnte man sogar für beliebige positive Exponenten das ganze so durchziehen:



Für bedeutet letzteres dann .
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Alternative:

Wenn man statt dem Resub-Schritt gleich mit

weitermacht, muß man zwar auf das ein wachsames Auge haben, aber letztlich gibt es da keine Probleme, da sich über Potenzgesetze alles wegkürzt.

(Ich hatte das Integral schon letzte Nacht mit partieller Integration berechnet, aber HAL 9000 war mit seinem Beitrag 3 Minuten früher dran.)
Moin3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal.

Hab mal das was du geschrieben hast angeschaut. Du schreibst:


(0-R)^(8/7)* R= R^(15/7).

Kannst du mir sagen wie du drauf kommst ?

Ich komme auf:

(-R)^(8/7)* R= -R^(8/7)*R= -R^(15/7).

Vermutlich hast du Recht..
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bestätigt nochmal diese meine Einschätzung:

Zitat:
Original von HAL 9000
Du hast dir das Leben selbst schwer gemacht, indem du ungeschickter- und unnötigerweise Potenzen mit negativen Basen und gebrochenen Exponenten eingeführt hast.

Wenn du dann nicht in der Lage bist, damit richtig zu rechnen, dann solltest du die Finger davon lassen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, der Fehler liegt eher in der dritten Zeile. Unterm Integral sollte stehen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat er ja umgewandelt per . Damit fing das ganze Unheil an. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein, daß das Minuszeichen da herkommt. Aber wer weiß schon, was Saltydog da gemacht hat.
Moin3 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur um das klarzustellen ich bin nicht der Fragesteller. Big Laugh

Verstehe nicht wie du von

(-R)^(8/7) auf R^(8/7) kommst. Könntest du mir das bitte erklären ? smile welches Potenzgesetzt ist das was habe ich verpasst verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Moin3

Es geht ja um Potenzen mit negativ reell sowie teilerfremd ganzzahlig und ungerade. Für diese Kombination kann man tatsächlich einen Wert zuweisen, der mit einigen (!) (aber nicht allen) der bekannten Potenzregeln konform geht. Man sollte also wirklich wissen, was man tut, wenn man solche Terme dann umformt. (*)

Die Frage ist, warum du dir (bzw. Saltydog) das hier überhaupt "antust": Im Originalintegral hat man positive Basen, es ist also komplett überflüssig, sich hier auf dieses Glatteis zu begeben. Also verlass das Glatteis besser und beschreite die sicheren Pfade, so langweilig die auch sein mögen. Augenzwinkern

Deshalb lehne ich es auch rundweg ab, diesen total verkorksten Rechenweg damit zu unterstützen, dass ich hier ausgiebig die Theorie (*) erläutere, von der ich auch nicht gerade begeistert bin.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dem rundweg ablehnungsbereiten, nicht gerade begeisterten HAL darf ich ein bißchen zur Hand gehen.

Steht im Exponenten einer Potenz ein Bruch, sind negative Basen nicht mehr zulässig. Man kommt da in Teufels Küche. Nun kann man die siebte Wurzel durchaus auch für negative Radikanden erklären. Für das unbestimmte Integral gilt modulo einer additiven Konstanten:



Macht man es so, dann ist alles in Ordnung. Man sollte nicht schreiben, ohne einen Kommentar zu hinterlassen, wie das hier zu lesen ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch eine Lösung mit partieller Integration (weil zwar schon alles gesagt ist, aber noch nicht von allen Augenzwinkern ):

klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
mit einigen (!) (aber nicht allen) der bekannten Potenzregeln konform

Jetzt wüßt ichs gern nochmal genau: Gegen wieviele bzw. welche Gesetze verstoße ich denn hiermit:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Grundproblem ist doch, daß



durch



definiert wird, wenn eine Bruchdarstellung von ist. Offenbar verwendet diese Definition einen speziellen Vertreter der Äquivalenzklasse, die den Bruchwert beschreibt. Und der Termwert könnte vom speziellen Vertreter abhängen. Und in der Tat ist das so:





Das Interessante ist, daß man zeigen kann, daß diese Definition für (!!!) nicht von der speziellen Bruchdarstellung abhängig ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@klauss

Soweit ich sehe gegen keine. Ich rede ja auch davon

Zitat:
Original von Moin3
Ich komme auf:

(-R)^(8/7)* R= -R^(8/7)*R= -R^(15/7).

oder wenn man beispielsweise



rechnen wollte...
Moin2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also darf man den exponenten bei einer Potenz nicht erweitern oder wie soll ich das jetzt verstehen? Verstößt gegen die Rechenregeln aber gegen welche genau ?‘
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir einfach nochmal den Beitrag von Leopold 29.6.19, 23:56 durch: Dort steht, wie die Potenz überhaupt definiert ist. Das Beispiel aus meinem letzten Beitrag zeigt, dass für diese Potenzen die Potenzegel i.a. nicht mehr gilt. Insofern muss man also ganz genau klären, welche algebraischen Umformungsregeln für derartige Potenzen überhaupt noch gelten, bevor man frisch fröhlich loslegt. Erklär DU doch zur Abwechlsung bitte mal, nach welcher Regel du meinst hier das Vorzeichen rausziehen zu dürfen:

.

Schließlich ware es deine Umformung, also musst du dir doch dabei was gedacht haben.
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, da is man mal einen Tag offline und dann sowas....Ich find die Diskussion total super!
Danke an HAL, ich hab mit deinem ersten Lösungspost, das Problem erkannt und behoben.

Danke auch an Leopold für die partielle Integration!

Gruß

Salty
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »

Fast vergessen:

Moin Moin2 (he he)

Danke auch an dich! Du hast dich getraut das Problem und die Lösung zu hinterfragen!
Ich wusste dass ich nicht total blöd bin (Vertrauen wiederhergestellt!)

PS: Es ist doch schön wenn alle Seiten einer Diskussion offen bleiben und so eine konstruktive Kommunikation möglich ist. Wie wichtig das gerade heute ist, mit der Wissenschaftsverdrossenheit usw....(ich lass das mal offen)
Moin2 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja Hal das war einfach nur naives denken von mir. Ich dachte einfach (-) *(+) ergibt (-)..

Naja was ich aufjedenfall mitgenommen habe ist:

Die Potenzgesetze die man so kennt gelten i.A nur für Potenzen mit einer Positiven Basis. Bei negativen Basen muss man aufpassen. Für negative basen fand ich im Internet kaum regeln. Ausser das (-a)^n = a^n falls n gerade und (-a)^n = -a^n falls n ungerade gilt.
Saltydog Auf diesen Beitrag antworten »

Die Potenzgesetze gelten für alle reelen Zahlen. Außerdem lassen sich Wurzeln auch als Potenzen darstellen, und da die Wurzel aus negativen reellen Zahlen undefiniert ist, muss man da halt aufpassen! Leuchtet ein oder?
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