Kreisfläche

29.06.2019, 11:57

vonsee

Kreisfläche

Meine Frage:
Gegeben ist ein Kreis K1 mit Radius R1 > 0.
Gesucht ist der Radius R2 eines Kreises K2 dessen
Mittelpunkt auf dem Umfang von K1 liegt und dessen
Umfang die Fläche des Kreises K1 halbiert.

Meine Ideen:
R2 ist offensichtlich (etwas) größer als R1.
Es muß doch sicher eine eindeutige Berechnung von R2
in Abhängigkeit von R1 geben, ich komme aber leider nicht weiter.

29.06.2019, 13:24

riwe

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RE: Kreisfläche
bestimme die Schnittpunkte der beiden Kreise, damit kannst du dann die 2 Kreissegmente berechnen, deren Summe du suchst

29.06.2019, 19:27

Leopold

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kurz nach dem MatheBoard-Urknall

30.06.2019, 05:04

klauss

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RE: Kreisfläche

Zitat:

Original von vonsee
Es muß doch sicher eine eindeutige Berechnung von R2
in Abhängigkeit von R1 geben

Sicher.
Da ich keine Lust habe, mit elementargeometrischen Methoden ranzugehen, versuche ich es mit den Mitteln der Analysis anhand eines Spezialfalles.
Ich nehme einen Halbkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung und einen zweiten Halbkreis mit dem Mittelpunkt in (0|1). Die haben die Gleichungen
$\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=\sqrt{1-x^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=-\sqrt{R^{2}-x^{2} }+1 \end{eqnarray*}$
Wenn die Kreislinie von $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$ die Fläche des ersten Kreis halbieren soll, muß die zwischen $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$ eingeschlossene Fläche gleich der halben Fläche des ersten Kreises sein, hier somit $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ .
Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind
$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{R^{2}-\frac{R^{4} }{4}} \end{eqnarray*}$
Aus Symmetriegründen kann ich die Betrachtung auf die im 1. und 4. Quadranten eingeschlossene Fläche beschränken und für diese gemäß obigen Daten die Bedingung formulieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-\frac{R^{4} }{4}} } \! \left(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{R^{2}-x^{2}}-1\right) \, dx= \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[\frac{x\sqrt{R^{2}-x^{2}} }{2} +\frac{x\sqrt{1-x^{2}} }{2}-x+\frac{R^{2}}{2}arctan\left(\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \right) +\frac{1}{2}arcsin(x)\right]_{0}^{\sqrt{R^{2}-\frac{R^{4}}{4} } }=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
Nach Einsetzen und etwas Umformen gelangt man zu
$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2}\sqrt{1-\frac{R^{2}}{4} } +\frac{R^{2}}{2}arctan\left(\frac{2\sqrt{1-\frac{R^{2}}{4}}}{R} \right) +\frac{1}{2}arcsin\left( \sqrt{R^{2}-\frac{R^{4}}{4} } \right) =\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt der Wert für den zweiten Kreisradius mit
$\begin{eqnarray*} R=1,15872847301812 \end{eqnarray*}$ ,
der zugleich allgemein das erforderliche Verhältnis $\begin{eqnarray*} R_{2}:R_{1} \end{eqnarray*}$ der beiden Kreisradien zur Flächenhalbierung darstellt.

30.06.2019, 10:47

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
kurz nach dem MatheBoard-Urknall

Lösungen

30.06.2019, 15:38

klauss

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Und was dann natürlich auch gelten muß, ist, dass die vom blauen Kreis mit den Koordinatenachsen im 4. Quadranten eingeschlossene Fläche gleich ist der kleinen Fläche zwischen den beiden Kreisen und der x-Achse im 1. Quadranten.
Probe liefert:
$\begin{eqnarray*} | \int_{0}^{0,585364565} \! 1-\sqrt{1,342651674-x^{2} } \, dx| =\int_{0}^{0,328674} \! \int_{\sqrt{0,34265167+2y-y^{2}} }^{\sqrt{1-y^{2}} } \, dx dy = 0,0628443 \end{eqnarray*}$

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