Von Kurve umschlossene Fläche

29.06.2019, 12:53	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Kurve umschlossene Fläche Hallo zusammen, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Berechnen Sie den Flächeninhalt der von der Kurve $\begin{eqnarray} \Gamma: x(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t)\cos(t) \end{pmatrix}, t\in (-\frac{\pi}{2} , \frac\pi2] \end{eqnarray}$ umschlossenen Fläche F. Hinweis: Wählen Sie dazu ein geeignetes Vektorfeld f(x,y). Leider habe ich gar keine Ideen für einen Ansatz
29.06.2019, 14:27	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Von Kurve umschlossene Fläche Die obigen Bezeichnungen sind inkonsistent. Ich setze mal $\begin{eqnarray} \vec r =(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Gamma: \vec r(t)=(\cos t, \sin t \cos t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec f (\vec r)=(P (\vec r), Q (\vec r)) \end{eqnarray}$ Der Satz von Green in der Ebene lautet: $\begin{eqnarray} \int\limits_\Gamma \vec f (\vec r) \cdot d\vec r= \iint\limits_D (Q_x-P_y)dxdy \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ die von $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ umschlossene Fläche und die Indizes bezeichnen die partiellen Ableitungen nach dem Index. Wählt man nun $\begin{eqnarray} \vec f \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} Q_x-P_y=1 \end{eqnarray}$ ergibt das Integral auf der rechten Seite gerade die umschlössen Fläche, die daher mit dem Kurvenintegral auf der linken Seite ausgerechnet werden kann. Ein passendes Vektorfeld wäre z. B. $\begin{eqnarray} \vec f (\vec r)=(1, x) \end{eqnarray}$ Das ergibt $\begin{eqnarray} Q_x=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_y=0 \end{eqnarray}$ . Aber es gibt natürlich beliebig viele andere Möglichkeiten $\begin{eqnarray} \vec f \end{eqnarray}$ zu wählen.
29.06.2019, 15:33	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Von Kurve umschlossene Fläche Aah, jetzt habe ichs verstanden. Vielen Dank!

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