Erwartungswert

29.06.2019, 19:21

Hendrik32

Erwartungswert

Hallo,
ich betrachte die geometrische Verteilung: $\begin{eqnarray*} P(X=k)=p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Ich möchte $\begin{eqnarray*} E[(X(X-1)] \end{eqnarray*}$ berechnen.
Laut Lösungsvorschlag muss gelten: $\begin{eqnarray*} E[(X(X-1)] = \sum_{k=1}^{\infty}k(k-1) \cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$
Warum? Müsste es nicht sowas sein wie:
$\begin{eqnarray*} E[(X(X-1)] = \sum_{k=1}^{\infty}k(k-1) \cdot P(X=k(k-1)) \end{eqnarray*}$

29.06.2019, 20:14

HAL 9000

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Weil das eben so ist gemäß Maßtransformationssatz $\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{\Omega} g(X) ~ \dd P = \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$ .

Im diskreten Fall dann also $\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \sum_x g(x) P(X=x) \end{eqnarray*}$ , im stetigen (mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ ) entsprechend $\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hendrik32
Müsste es nicht sowas sein wie:
$\begin{eqnarray*} E[(X(X-1)] = \sum_{k=1}^{\infty}k(k-1) \cdot P(X=k(k-1)) \end{eqnarray*}$

Manche "Analogien" stellen sich als untragbarer Unfug heraus, wenn man einfach mal ein bisschen genauer darüber nachdenkt: Laut deiner Idee müsst dann z.B.

$\begin{eqnarray*} E(-X) \stackrel{?}{=} \sum_{k=1}^{\infty} (-k)\cdot P(X=-k) = 0 \end{eqnarray*}$ .

sein, schlicht weil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gar keine negativen Werte annehmen kann.

30.06.2019, 09:58

Hendrik32

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Alles klar. Hat mir sehr geholfen. Vielen Dank smile

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