Ableitung, Differentialgleichung

29.06.2019, 19:55

Joly34

Ableitung, Differentialgleichung

Meine Frage:
Hi Leute,

für eine Aufgabe in Matlab, bei der die Differentialgleichung

x'(t)=100/(1-tan^2(x)), x(0)=-pi/4

numerisch gelöst werden soll, muss ich die exakte Lösung kennen, um die Annäherungen überprüfen zu können.

Da Differentialgleichungen nicht meine Stärke sind, wollte ich Wolfram Alpha die DG für mich lösen lassen. Dabei kam raus:

x(t)=-arctan(1-100*t).

Zur Überprüfung habe ich mir diese Gleichung nochmal ableiten lassen. Dabei kam raus:

x'(t)=100/((1-100*x)^2+1)

Meine Ideen:
Das ist -auf den ersten Blick zumindest- ja nicht das gleiche. Es sollte aber doch das gleiche rauskommen, oder?

Ich weiß gerade nicht wo da was schief gelaufen sein könnte, oder ob ich einfach nicht sehe, dass die erste Funktion x'(t) doch das gleiche ist wie die zweite Funktion x'(t).

Über Hilfe freue ich mich sehr!

29.06.2019, 21:16

Leopold

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Bist du sicher, daß die Angaben stimmen? Denn für $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ ist die Differentialgleichung

$\begin{align*} \dot{x} = \frac{100}{1 - \tan^2 x} \end{align*}$

gar nicht definiert. Wegen der Anfangsbedingung $\begin{align*} x(0) = - \frac{\pi}{4} \end{align*}$ verschwindet der Nenner.

Eine formale Rechnung ergibt durch Trennen der Veränderlichen

$\begin{align*} \left( 1 - \tan^2 x \right) ~ \dd x = 100 ~ \dd t \end{align*}$

Wegen $\begin{align*} \frac{\dd (\tan x)}{\dd x} = 1 + \tan^2 x \end{align*}$ kann man das so zu Ende bringen:

$\begin{align*} \left( 2 - \frac{\dd (\tan x)}{\dd x} \right) ~ \dd x = 100 ~ \dd t \end{align*}$

$\begin{align*} 2x - \tan x = 100t + c \end{align*}$

Die Konstante $\begin{align*} c \end{align*}$ läßt sich mit der Anfangsbedingung ermitteln:

$\begin{align*} 2x - \tan x = 100t - \frac{1}{2} \pi + 1 \end{align*}$

Die Gleichung kann in einer Umgebung von $\begin{align*} \left( t=0 \, , \, x=-\frac{\pi}{4} \right) \end{align*}$ zwar nicht nach $\begin{align*} x \end{align*}$ , aber immerhin nach $\begin{align*} t \end{align*}$ aufgelöst werden.

[attach]49442[/attach]

29.06.2019, 22:29

Joly

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Hallo, hier im Anhang nochmal die Aufgabenstellung. Sehe ich da was falsch? verwirrt

29.06.2019, 22:30

Joly

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Leopold, vielen Dank schonmal für deine Antwort!

29.06.2019, 22:54

Leopold

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Das ist jetzt ja wohl eine ganz andere Differentialgleichung als die in deinem Eingangsbeitrag. unglücklich

Aber auch hier finde ich $\begin{align*} t \in (0,2] \, , \ x(0) = - \frac{\pi}{4} \end{align*}$ einigermaßen gewöhnungsbedürftig. Was ist nun mit $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ ?

Löse die Differentialgleichung durch Trennen der Veränderlichen.

30.06.2019, 12:28

Joly

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Tatsächlich, da ist mir gestern ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Tut mir leid, mit der Konzentration war ich da wohl schon am Ende!

Aber in Wolfram Alpha hatte ich es tatsächlich richtig eingegeben, und die anderen Angaben, also was mir WA ausgeben hat als Lösung und die Funktion, die mir angegeben wurde nachdem ich die Lösung wiederum habe ableiten lassen, stimmen.

Ich kann keine Differentialgleichungen mit der Variation der Veränderlichen lösen.

Habe es gerade versucht, aber bin nicht weiter gekommen als bis (1+tan^2(x(t))dx=100dt.

Aber meine Aufgabe war ja auch das Programm in Matlab zu schreiben. Und wie gesagt, die exakte Lösung brauche ich nur um die numerische Lösung zu überprüfen.

30.06.2019, 12:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Joly
Ich kann keine Differentialgleichungen mit der Variation der Veränderlichen lösen.

Was hat das denn mit der DGL hier zu tun? Dieses Verfahren ist für lineare DGL - deine DGL hier ist nicht linear. Man nutzt hier ganz ähnlich wie bei Leopold oben Trennung der Veränderlichen, nur dass es diesmal viel einfacher ist (dein Schreibfehler hat die Sache nämlich noch verkompliziert):

$\begin{eqnarray*} \dot{x}\cdot \left(1+\tan^2(x)\right) = \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} \tan(x) = \gamma \end{eqnarray*}$ nun integrieren

$\begin{eqnarray*} \tan(x) = \gamma t + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t) = \arctan(\gamma t + C) + k\pi \end{eqnarray*}$

wobei man die ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ so wählen muss, dass der Anfangswert $\begin{eqnarray*} x(0) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right) \end{eqnarray*}$ liegt. Im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} x(0)=-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ , und aus eben dieser Anfangsbedingung bekommst du auch das passende $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ heraus.

30.06.2019, 13:00

Joly

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Ohje, ich bringe wohl gerade alles durcheinander.

Danke für die Antwort!

Als Konstante C habe ich jetzt -1 ausgerechnet, und somit ist die Lösung

x(t)=arctan(100t-1).

Aber wenn ich das ableite in WA, kommt eben

x'(t)=100/((1-100t)^2+1)

raus.

Und damit wäre ich wieder bei der Frage, weshalb ich diesen Post erstellt habe: wie kann das sein?

30.06.2019, 13:15

HAL 9000

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Ja, die Ableitung stimmt. Warum jedoch leitest du den Satz mit "aber" ein? verwirrt

Die Probe der DGL stimmt, die Anfangsbedingung auch - wo also siehst du ein Problem? Erstaunt1

01.07.2019, 12:05

Joly

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Ahh, jetzt hab ich es kapiert. Ich stand echt auf dem Schlauch.

Vielen Dank für die Hilfe!

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