Anzahl der Möglichkeiten bei Bücherauswahl

29.06.2019, 20:33	RoemischEins	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Möglichkeiten bei Bücherauswahl Meine Frage: Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und eine alte Prüfungsfrage lautet: "Gegeben seien 9 Bücher in englischer, 7 Bücher in französischer und 10 Bücher in deutscher Sprache. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 7 Bücher so auszuwählen,dass jede der drei Sprachen vertreten ist?" Meine Ideen: Meiner Meinung nach handelt es sich hierbei um eine <Kombination> (keine Permutation und auch keine Variation), da 1. eine Auswahl vorliegt und 2. keine bestimmte Reihenfolge gegeben ist Meine Vorgehensweise wäre folgende gewesen: ich will sicher 1 englisches, 1 französisches und 1 deutsches das bedeutet: (9 über 1) 7 über 1) 10 über 1) dann bleiben mir insgesamt noch 8+6+9=23 Bücher aus denen ich 4 beliebige auswählen kann also schlussendlich: (9 über 1) 7 über 1) 10 über 1) 23 über 4) ist das so richtig oder hab ich etwas missverstanden :-) ? Danke im Voraus
29.06.2019, 21:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz abgesehen davon, dass deine Formeln nicht vollständig lesbar sind, scheint auch die Idee nicht zu funktionieren: Es gibt keine exponierte Stellung des einen Buchs jeder Sprache, wie sie in deiner Anzahlberechnung auftaucht - Beispiel: Die Einerauswahlen ergeben z.B. E1,F1,D1 und die anderen vier Bücher seien E2,F5,D3,D6. Das sind also insgesamt E1,E2,F1,F5,D1,D3,D6. Aber über die Auswahl "Einerauswahlen E2,F1,D5 und die anderen vier Bücher seien E1,F5,D1,D6" bekommt man dieselben 7 Bücher. Damit hast du Gesamtauswahl E1,E2,F1,F5,D1,D3,D6 schon mal mehrfach gezählt - geht so also nicht. ------------------------------------------------ Wie so oft, funktioniert der Weg über die Siebformel: Wir betrachten Grundraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ... alle möglichen Auswahlen von 7 aus den 26 Büchern, d.h. $\begin{eqnarray} \left\|\Omega\right\| = \binom{26}{7} \end{eqnarray}$ und darin die Ereignisse $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ... kein deutsches Buch in der Auswahl $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ... kein englisches Buch in der Auswahl $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ... kein französisches Buch in der Auswahl Dann ist gesucht $\begin{eqnarray} N:=\left\| \Omega\setminus (D\cup E\cup F)\right\| \end{eqnarray}$ , und dieser Wert ist gemäß Siebformel $\begin{eqnarray} N &=& \left\|\Omega\right\| - \|D\| - \|E\| - \|F\| + \|D\cap E\| + \|D\cap F\| + \|E\cap F\| - \|D\cap E\cap F\|\\ &=& \binom{26}{7} - \binom{16}{7} - \binom{17}{7} - \binom{19}{7} + \binom{7}{7} + \binom{9}{7} + \binom{10}{7} - 0 \end{eqnarray}$ . P.S.: Falls dein Vorschlag den Anzahlwert $\begin{eqnarray} \binom{9}{1}\cdot\binom{10}{1}\cdot\binom{7}{1}\cdot\binom{23}{4} = 5\,578\,650 \end{eqnarray}$ bedeutet, dann möchte ich drauf aufmerksam machen, dass die Gesamtzahl aller Buchauswahlen ohne jegliche Restriktionen $\begin{eqnarray} \left\|\Omega\right\| = \binom{26}{7} = 657\,800 \end{eqnarray}$ kleiner (?!) als diese deine "Anzahl" ist... EDIT: Bist leider auch so ein unehrlicher Crossposter https://www.onlinemathe.de/forum/Kombinatorik-1023 Dieses parasitäre Verhalten finde ich zunehmend widerlich.

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