Satz von Gauß

30.06.2019, 14:54	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß Hallo zusammen, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Ich soll den Satz von Gauß anhand der Menge $\begin{eqnarray} V=\{(x,y,z)\in \mathbb R ^3\|x^2+y^2\leq 4\wedge 0\leq z\leq 4\} \end{eqnarray}$ und dem Vektorfeld $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=(x,y,z)^T \end{eqnarray}$ verifizieren. Das heißt ich berechne $\begin{eqnarray} \iiint_{V}^{} \! div\,f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \iint_{\partial V}^{} \! (f \cdot n)\,do \end{eqnarray}$ , und sollte dann das gleiche Ergebnis erhalten. Für das erste Integral erhalte ich mit Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray} \iiint_{V}^{} \! 3 \, dV = 3\int_{0}^{4} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \! r\,dr\,d\varphi\,dz =48\pi \end{eqnarray}$ , mit dem zweiten Integral tue ich mir jedoch schwer. Dafür benötige ich ja einen Normalenvektor. Für den Zylindermantel habe ich $\begin{eqnarray} n_1 = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , für Deckel bzw. Boden habe ich $\begin{eqnarray} n_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt. Stimmt das so weit? Bei den Normalenvektoren bin ich mir noch ziemlich unsicher Auch weiß ich jetzt nicht genau, wie ich weiter machen muss..
30.06.2019, 16:22	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß Das ist alles richtig. Da die Divergenz des Vektorfeldes im gesamten Volumen konstant ist, hätte man auch einfach die Divergenz mit dem Volumen des Zylinders multiplizieren können, die ja elementargeometrisch bekannt ist. Jetzt solltest du erst mal $\begin{eqnarray} f \cdot n \end{eqnarray}$ für die 3 Teilflächen berechnen. Das Ergebnis ist dann über jede der Teilflächen zu integrieren. Auch hier ergibt sich, dass $\begin{eqnarray} f \cdot n \end{eqnarray}$ auf jeder der Teilflächen konstant ist. Es genügt also, das jeweilige $\begin{eqnarray} f \cdot n \end{eqnarray}$ mit der jeweiligen Teilfläche zu multiplizieren und die 3 Ergebnisse zu addieren.
30.06.2019, 21:16	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß Vielen Dank für deine Hilfe! Ich sollte es jetzt verstanden haben

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