Regeln für die Supremumsnorm

30.06.2019, 16:45

KoenigVonAugsburg

Regeln für die Supremumsnorm

Hallo,

ich habe ein Problem und somit ein paar Fragen zu der Folgenden aufgabe:

Sei $\begin{align*} [a,b] \subset \mathbb R \end{align*}$ und $\begin{align*} C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ die Menge der stetigen Funktionen $\begin{align*} [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{align*}$ . Man definiert eine Abbildung $\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \rightarrow \mathbb R \end{align*}$ (Supremumsnorm) durch:
$\begin{align*} ||f||:=sup \end{align*}$ { $\begin{align*} |f(x)| \, :\,x \in [a,b] \end{align*}$ }
Operationen mit Funktionen wie üblich Punktweise definiert, d.h z.B f+g ist definiert durch (f+g)(x) := f(x) + g(x)

Also die Sumpremumsnorm ist ist der größte Betrag den die Funktion annehmen kann, habe ich das richtig verstanden?

Dann verstehe ich folgende Zeile nicht ganz:
$\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \rightarrow \mathbb R \end{align*}$
Was soll der Punkt zwischen jeweils 2 Pipes sein und was ist mit der Definitionsmenge $\begin{align*} C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ wirklich gemeint? Das ist ja die Menge der stetigen Funktionen. Bei solchen Aussagen bin ich immer unsicher. Welche stetigen Funktionen? Irgendwelche? Freierfundene? Warum überhaupt $\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ und nicht nur $\begin{align*} ||.||:C([a,b]) \end{align*}$ ?

Wie ihr seht, sehe ich nichts.

Dann gibt es zu dieser Angabe folgende Fragen:

a) Zeigen Sie: Setzen Sie im Vergleich $\begin{align*} \forall f,g \in C([a,b], \mathbb R):||f+g||?||f||+||g|| \end{align*}$ statt den Fragezeichen die richtige Vergleichsrelation ein und beweisen Sie die Richtigkeit.

Klar, hier muss ich zeigen das <,>,= etc. gilt. Ich denke ich werde das aus hinbekommen, wenn ich die Definition da oben komplett entschlüsseln kann. Die Dreiecksungleichung wird wohl auch eine Rolle spielen.

b)Formulieren und beweisen Sie ähnliche Regeln für $\begin{align*} ||f*g||,||c*f|| (c\in\mathbb R \end{align*}$

Wie soll ich hier vorgehen? $\begin{align*} ||c*f|| \end{align*}$ drückt ja die Supremumsnorm multipliziert mit einer konstanten aus. Warscheinlich muss ich hier $\begin{align*} |c|*||f|| \end{align*}$ zeigen, oder?

c)Man zeige eine Funktionsfamilie $\begin{align*} (f_n)_n\in \mathbb N,f \in C([a,b],\mathbb R) \end{align*}$ konvergiert genau dann gleichmäßig gegen $\begin{align*} f_0 \in C([a,b], \mathbb R), wenn \lim_{n \to \infty} ||f_n - f_0|| = 0 \end{align*}$
Wie ich diese Lösen soll weis ich nicht genau.

Danke smile

30.06.2019, 17:48

Leopold

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RE: Regeln für die Supremumsnorm

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
Also die Sumpremumsnorm ist ist der größte Betrag den die Funktion annehmen kann, habe ich das richtig verstanden?

Das ist richtig. Allerdings enthält deine Formulierung eine Behauptung, die sich nicht von alleine versteht. Es geht um das Wort "annehmen". Denn das Supremum einer Menge braucht ja nicht von einem Element der Menge angenommen zu werden. Zum Beispiel hat das offene Intervall $\begin{align*} I=(0,1) \end{align*}$ den Wert 1 als kleinste obere Schranke, aber 1 ist kein Element von $\begin{align*} I \end{align*}$ . Hier ist es allerdings so, daß ein $\begin{align*} x_0 \in [a,b] \end{align*}$ mit $\begin{align*} \left\| f \right\| = \left| f(x_0) \right| \end{align*}$ existiert. Und genau dieses ist durch die Stetigkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ gesichert. Da habt ihr sicher entsprechende Sätze in der Vorlesung gehabt.

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
$\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \rightarrow \mathbb R \end{align*}$
Was soll der Punkt zwischen jeweils 2 Pipes sein und was ist mit der Definitionsmenge $\begin{align*} C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ wirklich gemeint? Das ist ja die Menge der stetigen Funktionen. Bei solchen Aussagen bin ich immer unsicher. Welche stetigen Funktionen? Irgendwelche? Freierfundene? Warum überhaupt $\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ und nicht nur $\begin{align*} ||.||:C([a,b]) \end{align*}$ ?

Normalerweise haben Abbildungen Namen wie $\begin{align*} f,g,h \end{align*}$ usw. Die Anwendung auf ein $\begin{align*} x \end{align*}$ wird mit $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ usw. bezeichnet. Manchmal nimmt man aber das Zeichen, das die Abbildung charakterisiert, selbst als Namen für die Abbildung, vor allem dann, wenn der Name der Abbildung später nicht mehr gebraucht wird. Der Punkt markiert die Stelle, wo bei der Anwendung auf ein $\begin{align*} x \end{align*}$ das $\begin{align*} x \end{align*}$ einzutragen ist.

Man könnte zum Beispiel die Wurzelfunktion so definieren:

$\begin{align*} \sqrt{\ . \ }: \, [0,\infty) \to \mathbb{R} \, ; \ \ \sqrt{x} = y \ \Leftrightarrow \ y \geq 0 \ \wedge \ y^2 = x \end{align*}$

Vielleicht betrachtet ihr später einmal stetige Funktionen mit Werten in $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ oder sonstwo. Da schien es dem, der die Bezeichnung eingeführt hat, wichtig, die Zielmenge zu erwähnen. Man kann hier aber durchaus die Auffassung vertreten, daß die Bezeichnung ein bißchen überfrachtet ist, da sie Informationen enthält, die sich aus dem Zusammenhang von alleine verstehen, und würde dann nur $\begin{align*} C \left( [a,b] \right) \end{align*}$ schreiben. Das Zeichen $\begin{align*} C \end{align*}$ für einen Raum stetiger Funktionen ist aber durchaus üblich. Ich vermute, daß es von engl. continuous oder lat. continuus kommt.

Nehmen wir einmal ein Beispiel:

$\begin{align*} f \in C \left( [0,2019\pi] , \mathbb{R} \right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = \sin(x) \end{align*}$ . Was ist hier $\begin{align*} \left\| f \right\| \end{align*}$ ?

Ein anderes Beispiel:

$\begin{align*} g \in C \left( [0,1] , \mathbb{R} \right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x) = -x^2+x+\frac{1}{2} \end{align*}$ . Was ist hier $\begin{align*} \left\| g \right\| \end{align*}$ ?

30.06.2019, 17:58

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RE: Regeln für die Supremumsnorm

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
Also die Sumpremumsnorm ist ist der größte Betrag den die Funktion annehmen kann, habe ich das richtig verstanden?

Grundsätzlich ja. Allerdings hast du hier den Spezialfall stetiger Funktionen auf einem kompakten Intervall. Deswegen ist das supremum auch ein Maximum. Die Funktion nimmt also den Wert $\begin{eqnarray*} \|f\|| \end{eqnarray*}$ auch wirklich an. Bei nicht-stetigen Funktionen oder nicht kompaktem Intervall muss das nicht passieren.

Zitat:

$\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \rightarrow \mathbb R \end{align*}$
Was soll der Punkt zwischen jeweils 2 Pipes sein und was ist mit der Definitionsmenge $\begin{align*} C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ wirklich gemeint? Das ist ja die Menge der stetigen Funktionen. Bei solchen Aussagen bin ich immer unsicher. Welche stetigen Funktionen? Irgendwelche? Freierfundene? Warum überhaupt $\begin{align*} ||.||:C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ und nicht nur $\begin{align*} ||.||:C([a,b]) \end{align*}$ ?

Das ist eine übliche Schreibweise. Der Punkt bedeutet soviel wie "hier Funktion einsetzen". Die 2 pipes sind der Name der Abbildung, so wie sonst f oder $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ oder sonstwie.
$\begin{align*} C([a,b], \mathbb R) \end{align*}$ ist die Menge aller stetigen Funktionen $\begin{align*} f[a,b]\to \mathbb R \end{align*}$ . Der Definitionsbereich jeder einzelnen Funktion ist also das Intervall [a,b] und die Werte von f sind $\begin{eqnarray*} \textcolor\red {reelle} \end{eqnarray*}$ Zahlen. Das bedeutet das $\begin{align*} C([a,b], \color\red \mathbb R ) \end{align*}$

Edit: Viel zu lange gebraucht Wink

01.07.2019, 13:35

KoenigVonAugsburg

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Danke, jetzt verstehe ich das mehr.

Kann ich jetzt für die Aufgabe a und b sagen, dass so ein Supremum(wegen des kompakten Intervalls in der Definition sogar ein Maximum, oder?) existieren muss und ich somit so ein f(x0) finde und dann ganz normal mit diesem f(x0) weiterarbeite um die Ungleichungen etc. zu beweisen?

01.07.2019, 13:48

klarsoweit

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Nun ja, das kommt sehr auf den Einzelfall an. Das geht schon damit los, das unter Umständen f(x_0) gar nicht das Supremum ist, sondern |f(x_0)| . smile

01.07.2019, 15:10

KoenigVonAugsburg

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ja dann halt das.. macht das irgendeinen Unterschied?

01.07.2019, 15:30

klarsoweit

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RE: Regeln für die Supremumsnorm
Das werden wir sehen. Am besten einfach mal machen:

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
a) Zeigen Sie: Setzen Sie im Vergleich $\begin{align*} \forall f,g \in C([a,b], \mathbb R):||f+g||?||f||+||g|| \end{align*}$ statt den Fragezeichen die richtige Vergleichsrelation ein und beweisen Sie die Richtigkeit.

Mit etwas Glück, ist das ein Einzeiler. smile

01.07.2019, 15:54

KoenigVonAugsburg

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Da f überall stetig ist, existiert insbesondere ein x0 sodas gilt : |f(x_0)| = ||f||
für g analog.

Daraus folgt: $\begin{align*} ||f(x_0)| + |g(x_0)|| \leq |g(x_0)| + |g(x_0)| \end{align*}$
also: $\begin{align*} |||f|| + ||g||| \leq ||f|| + ||g|| \end{align*}$

jetzt fehlt mir aber $\begin{align*} ||f + g|| \leq |||f|| + ||g||| \end{align*}$ ... Theroretisch ist mir klar dass diese ungleichung passen muss aber praktisch sieht das anders aus. Habe ich bis jetzt richtig bewiesen oder nicht?

01.07.2019, 18:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
Daraus folgt: $\begin{align*} ||f(x_0)| + |g(x_0)|| \leq |g(x_0)| + |g(x_0)| \end{align*}$

Gemeint ist wohl: $\begin{eqnarray*} ||f(x_0)| + |g(x_0)|| \leq |f(x_0)| + |g(x_0)| \end{eqnarray*}$
Und das folgt nicht aus dem davor Gesagten, sondern ist schlicht die Anwendung der Dreiecksungleichung. Außerdem ist ja nicht gesagt, daß die Funktionen f und g ihr Supremum an der gleichen Stelle x_0 annehmen.

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
also: $\begin{align*} |||f|| + ||g||| \leq ||f|| + ||g|| \end{align*}$

Auch das ist erst einmal nur Dreiecksungleichung und sonst nichts.

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
jetzt fehlt mir aber $\begin{align*} ||f + g|| \leq |||f|| + ||g||| \end{align*}$ ... Theroretisch ist mir klar dass diese ungleichung passen muss aber praktisch sieht das anders aus.

Nun ja, da die Summe der Funktionen f und g stetig ist, nutzen wir mal, daß es ein x_0 geben muß, so daß $\begin{eqnarray*} ||f+g|| = |f(x_0) + g(x_0)| \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt hilft die Dreiecksungleichung weiter sowie die Erkenntnis, daß |f(x_0)| <= ||f|| ist. Analog auch für die Funktion g. smile

01.07.2019, 19:14

Leopold

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Ich würde hier gar nicht so sehr auf die Kompaktheit des Intervalls $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ abheben. Die sichert nur, daß $\begin{align*} \left\| f \right\| \end{align*}$ eine nichtnegative reelle Zahl ist.

Ansonsten würde ich so vorgehen:

1. Man zeige, daß $\begin{align*} \left\| f \right\| + \left\| g \right\| \end{align*}$ eine obere Schranke der Menge aller $\begin{align*} \left| \, f(x)+g(x) \, \right| \end{align*}$ ist.
Dazu braucht man nur die Dreiecksungleichung für den gewöhnlichen Betrag.

2. Die kleinste obere Schranke ist kleinergleich jeder oberen Schranke.

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