Infimum einer Menge

01.07.2019, 11:24	corporal	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum einer Menge Ich arbeite gerade mit dem Buch „Tutorium Analysis I und Lineare Algebra I“. Dort gibt es eine Aufgabe, wo ich den Beweis für die Eindeutigkeit eines Infimums nicht verstehe. Die zu untersuchende Menge lautet: $\begin{eqnarray} <br /> C := \left\{ \frac{\sqrt{x + y}}{xy}: x, y \in \mathbb R , x, y \geq 1 \right\} \subset \mathbb R <br /> \end{eqnarray}$ Es wird zuerst gezeigt, dass 0 eine untere Schranke ist. Danach soll mit Widerspruchsbeweis gezeigt werden, dass dies die größte untere Schranke ist. Daher muss man folgende Aussage zum Widerspruch führen: $\begin{eqnarray} <br /> 0 + d \leq \frac{\sqrt{x + y}}{xy} <br /> \end{eqnarray}$ Dazu wird $\begin{eqnarray} <br /> x = y = \frac{2}{d^{2} } > 1<br /> \end{eqnarray}$ gesetzt. Und genau diesen Schritt verstehe ich nicht. Danach werden x und y in die obere Ungleichung eingesetzt. Ab dann verstehe ich es. Aber wie kommt man auf d^2/2 für x und y?
01.07.2019, 11:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Laufe der Zeit entwickelt man Verständnis für Beweise und genügend Intuition, so dass man irgendwann auch selbst auf Ideen kommt. Wo die Ideen herkommen und wie man darauf kommt, weiß man nicht, solange die Intuition noch nicht entwickelt ist. Wo die Ideen herkommen und wie man darauf kommt, kann man nicht erklären, nachdem die Intuition sich entwickelt hat. Üben, viel üben, geduldig üben, irgendwann klappt's. Die Idee hier ist anscheinend, dass für hinreichend kleines $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ der Wert $\begin{eqnarray} \frac 2 {d^2} \end{eqnarray}$ größer als 1 sein muss. Grosse $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ sind uninteressant, weil die kleinste untere Schranke klein sein muss.

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