Topologische Klassifikation des R^4

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02.07.2019, 09:08	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologische Klassifikation des R^4 Meine Frage: Hallo, gibt es eigentlich eine einfache Möglichkeit, alle topologischen Räume, die lokal homöomorph zum R^4 sind, zu beschreiben? Meine Ideen: Ich denke, dass solche Räume lokal zusammenhängend und alle Wege auf einen Punkt zusammenziehbar sein müssten. Aber reicht das? Vielen Dank
02.07.2019, 13:48	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne weitere Voraussetzungen wird das nicht möglich sein. Jede lokale Eigenschaft, die für $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ gilt, muss auch für so einen Raum gelten. "Alle Wege auf einen Punkt zusammenziehbar" ist aber keine solche lokale Eigenschaft. Als Gegenbeispiel betrachte $\begin{eqnarray} S^1 \times S^1 \times S^1 \times S^1 \end{eqnarray}$ mit der Produkttopologie.
08.07.2019, 10:50	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke KeinGastMehr für deine Antwort. Leider bin ich in der Topologie nicht fest genug, um dein Gegenbeispiel sofort einzusehen. Mir geht es philosophisch darum zu verstehen, welche Eigenschaften eines topologischen Raumes ihn zu einer Mannigfaltigkeit machen.
08.07.2019, 11:21	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Voraussetzungen würde man für eine Klassifikation noch benötigen: hausdorffsch, separabel, ...?
08.07.2019, 11:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt sicher darauf an, von welcher Art Mannigfaltigkeit man sprechen möchte. Wikipedia ist dafür m.E. ein brauchbarer Einstieg: https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit Ich verstehe unter einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit einen topologischen Raum mit geeignetem Atlas, das sind Karten der Dimension n (Abbildungen in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ ), die den topologischen Raum überdecken zusammen mit Kartenwechseln (Abbildungen zwischen Karten mit nichtleeerem Durchschnitt der Urbilder) mit geeigneten Eigenschaften.
08.07.2019, 12:49	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich denke, dass eine topologische Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum ist, der hausdorffsch und separabel und eben lokal homöomorph zum R^n ist. Einen kompatiblen, differenzierbaren Atlas brauche ich dafür - vorerst - noch nicht. Topologische Mannigfaltigkeiten sind lokal wegzusammenhängend, lokalkompakt und lokal metrisierbar. Aber wie sieht es umgekehrt aus?
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08.07.2019, 12:56	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Elvis sagte, kommt es darauf an. (Auch wenn ich nicht verstehe, warum deine Frage dann speziell auf den $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ bezogen ist.) Normalerweise fordert man die Hausdorff-Eigenschaft (diese ist keine lokale Eigenschaft, auch wenn es so scheint) und das zweite Abzählbarkeitsaxiom (das impliziert die Separabilität). Wenn man das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht fordert, ist jede Menge mit der diskreten Topologie eine $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ -dimensionale Mannigfaltigkeit. Sowas will man natürlich nicht haben, also fordert man dieses Axiom. Falls $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Hausdorff und lokal euklidisch ist und abzählbar viele Zusammenhangskomponenten hat, ist das Fordern des zweiten Abzählbarkeitsaxioms äquivalent zur Forderung der Parakompaktheit von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Dies impliziert zuammen mit den anderen topologischen Eigenchaften von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ metrisierbar ist (d.h. es gibt eine Metrik auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , die die gegebene Topologie induziert). Parakompaktheit ist außerdem notwendig für die Existenz von Teilungen der 1, was auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nutzt, um den Satz von de Rham zu zeigen. Meines Erachtens nach sollte man also wenigstens Hausdorff und das zweite Abzählbarkeitsaxiom fordern. Falls man das zweite Abzählbarkeitsaxiom zu Parakompaktheit abschwächt, gibt es ab und zu Situationen, wo etwas schief gehen kann.
08.07.2019, 13:16	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eigentlich habe ich mich gefragt, welche allgemeinsten Strukturen wir der Menge der Ereignisse (deshalb R^4, aber das dürfte eh noch nicht ins Gewicht fallen) geben müssen, um letztendlich Differentialgeometrie damit betreiben zu können. Um über "Nähe" sprechen zu können, müssen wir diese Menge mit einer Topologie ausstatten. So weit so gut. Jetzt wäre es schön, wenn ich von der Menge der Ereignisse eine Liste von einfachen topologischen Eigenschaften fordern könnte, aus der dann die lokale Homöomorphie zu einem R^n folgen würde. Das zu der Motivation meiner Frage. Ich hoffe, dass ich mich halbwegs verständlich ausdrücke. Danke Euch beiden. Ihr habt mir schon geholfen.
08.07.2019, 13:37	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie der Name schon sagt, bräuchte man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ich bin mir sehr sicher, dass die Eigenschaft, lokal euklidisch zu sein, nicht aus irgendwelchen anderen Eigenschaften folgt. Betrachte z.B. $\begin{eqnarray} X = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ also die Einheitskreislinie im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ zusammen mit dem Intervall, dass den Nord- und Südpol von $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ verbindet: Als Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ metrisierbar, Hausdorff, zweitabzählbar. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist sogar kompakt, zusammenhängend, und so weiter: Aber $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist NICHT lokal homöomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ .
08.07.2019, 13:52	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmal. Mir ist schon klar, dass wir für Differentialgeometrie differenzierbare Mannigfaltigkeiten benötigen. Ich wollte versuchen, von Mengen über topologische Räume und Mannigfaltigkeiten bis schließlich zu differenzierbaren Mannigfaltigkeiten mit Zusammenhang und Metrik aufzusteigen. Schade, dass man da keine einfachen Kriterien findet. In deinem Beispiel scheitert es doch an den Schnittpunkten der beiden Kurven. Kann man das nicht irgendwie ausschließen? Etwa weil X nicht einfach zusammenhängend ist?
08.07.2019, 14:10	KeinGastMehr	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch Mannigfaltigkeiten, die nicht einfach zusammenhängend sind. Des Weiteren kann man ein ähnliches Beispiel im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ konstruieren, das einfach zusammenhängend ist, z.B. die Vereinigung der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ - und der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse. Das Fordern des einfachen Zusammenhangs ergibt also leider keinen Sinn. Forder doch einfach, dass dein Raum lokal eukldiisch ist, anstatt zich künstliche Eigenschaften zu fordern, die die ganze Theorie der Mannigfaltigkeiten sehr einschränken. Ich verstehe leider nicht, wieso man das so angehen sollte, wie du das tun willst.
08.07.2019, 14:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte nicht mal dies (homöomorph) und mal das (differenzerbar) und mal jenes (Mannigfaltigkeit) fordern. Wie ich schon schon sagte, gibt es viele verschiedene Ansätze und Definitionen, je nachdem was man hat und was man braucht und was man tun möchte.
08.07.2019, 14:53	Argisti	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, Elvis, da habe ich mich wohl unklar ausgedrückt. Ursprünglich habe ich mich gefragt, ob es evtl. einen Satz gibt, der besagt, dass ein topologischer Raum mit gewissen Eigenschaften lokal homöomorph zu einem R^n ist. Erst in einem nächsten Schritt ginge es um differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Dank KeinGastMehr habe ich aber eh wenig Hoffnung so einen Satz zu finden. Also ist die Frage, warum ich nicht einfach "lokal homöomorph zu R^n" sage, berechtigt. Philosophisch betrachtet ist der erste Schritt, dass man denkt, die Menge der Ereignisse müsse mindestens ein topologischer Raum sein, gut nachvollziehbar; ebenso gewisse Separierungseigenschaften. Im nächsten Schritt müsste man aber schon sofort mit dem ganzen Konstrukt der reellen Zahlen daherkommen. Diesen Schritt hätte ich gerne in mehrere kleine zerlegt. Danke nochmal für eure Hilfe.
08.07.2019, 15:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir können nichts dafür und du auch nicht. Es gibt einfach zu viele Räume, für die man sich interessieren kann, und jede Klasse von Räumen hat andere Eigenschaften und Möglichkeiten. Der $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist so speziell, dass er lokal so viele Eigenschaften mit anderen Räumen teilt und nicht teilt, dass es aussichtslos scheint, ihn kanonisch mit anderen Räumen in Verbindung zu bringen.

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