Multilineare Funktion differenzieren

02.07.2019, 14:32	--aA--	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist eine multilineare Abbildung $\begin{eqnarray} g:\mathbb{R}^m \times \cdots \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ (k-mal) und differenzierbare Funktionen $\begin{eqnarray} a_j: (a,b) \to \mathbb{R}^m, j = 1,..,n, a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Nun sollen wir $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} g(a_1(t),\dots,a_k(t)) \end{eqnarray}$ berechnen. Ich habe zunächst versucht $\begin{eqnarray} g(x+h) \end{eqnarray}$ zu vereinfachen und habe das raus: $\begin{eqnarray} g(x+h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = g(x_1+h_1,x_2+h_2,\dots,x_k+h_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = g(x_1,x_2+h_2,\dots,x_k+h_k) + g(h_1,x_2+h_2,\dots,x_k+h_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = g(x_1,x_2,x_3+h_3,\dots,x_k+h_k) + g(x_1,h_2,x_3+h_3,\dots,x_k+h_k)<br /> +g(h_1,x_2,x_3+h_3,\dots,x_k+h_k)+g(h_1,h_2,x_3+h_3,\dots,x_k+h_k) \end{eqnarray}$ Dann bekommt man irgendwann $\begin{eqnarray} g(x)+g(h)+\text{Rest} \end{eqnarray}$ , wobei ich nicht weiß wie man den Rest sinnvoll aufschreiben kann. Wenn ich keinen Denkfehler gemacht habe, dann ist $\begin{eqnarray} g(h)+\text{Rest} \end{eqnarray}$ ja genau die Ableitung von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ ausgewertet an der Stelle $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ Willkommen im Matheboard! Ich habe die zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen
02.07.2019, 20:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich nicht vertan habe, sollte Folgendes herauskommen: Für $\begin{align} h(t) = g \left( a_1(t),\ldots,a_k(t) \right) \end{align}$ erhält man als Ableitung $\begin{align} h'(t) = \sum_{\kappa = 1}^k g \left( a_1(t),\ldots,a_{\kappa}'(t),\ldots,a_k(t) \right) \end{align}$ Das Summenglied ist so zu lesen, daß im Argument mit Index $\begin{align} \kappa \end{align}$ der Vektor $\begin{align} a_{\kappa}'(t) \end{align}$ steht (gliedweises Differenzieren seiner Komponenten). In allen anderen Argumenten bleiben die Argumente wie in der Definiton von $\begin{align} h(t) \end{align}$ . Ich habe die Formel mit der mehrdimensionalen Kettenregel bekommen. Zunächst habe ich $\begin{align} g(x_1,\ldots,x_k) \end{align}$ nach seinen $\begin{align} k \cdot m \end{align}$ Variablen partiell differenziert. Ich schreibe $\begin{align} x_{\kappa} = \begin{pmatrix} x_{1 \kappa} \\ x_{2 \kappa} \\ \vdots \\ x_{m \kappa} \end{pmatrix} \, , \ \ 1 \leq \kappa \leq k \end{align}$ Ganz links oben haben wir $\begin{align} x_{11} \end{align}$ (erste Koordinate des ersten Vektors). Wollen wir mal schauen, was die partielle Ableitung nach $\begin{align} x_{11} \end{align}$ ergibt. Der Differenzenquotient für $\begin{align} h \neq 0 \end{align}$ : $\begin{align} \frac{1}{h} \cdot \left( g ( \ \begin{pmatrix} x_{11} + h \\ x_{21} \\ \vdots \\ x_{m1} \end{pmatrix}, x_2, \ldots, x_k \ ) - g ( \ \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ \vdots \\ x_{m1} \end{pmatrix}, x_2, \ldots, x_k \ ) \right) \end{align}$ Linearität im ersten Argument: $\begin{align} = \frac{1}{h} \cdot g ( \ \begin{pmatrix} h \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , x_2, \ldots, x_k \ ) \ \ = \ \ g ( \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, x_2, \ldots, x_k \ ) \end{align}$ Wenn wir $\begin{align} e_{\mu} \end{align}$ für den $\begin{align} \mu \end{align}$ -ten kanonischen Einheitsvektor des $\begin{align} \mathbb{R}^m \end{align}$ schreiben, erhalten wir mit $\begin{align} h \to 0 \end{align}$ : $\begin{align} \frac{\partial}{\partial x_{11}} g \left( x_1, x_2, \ldots, x_k \right) = g \left( e_1, x_2, \ldots, x_k \right) \end{align}$ Durch Analogiebildung sollte klar sein, was man dann für $\begin{align} \frac{\partial}{\partial x_{\mu \kappa}} \end{align}$ erhält. Damit wäre $\begin{align} g \end{align}$ differenziert. Dann ist noch zu überlegen, wie sich die mehrdimensionale Kettenregel auswirkt, wenn die Argumente $\begin{align} x_1,\ldots,x_k \end{align}$ durch die Funktionen $\begin{align} a_1(t),\ldots,a_k(t) \end{align}$ substituiert werden. Wenn das mal stimmt ...

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