Monotonie und erste Ableitung

02.07.2019, 16:11	JuJu87	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie und erste Ableitung Guten tag, ich muss folgende Aufgabe bearbeiten aber finde nicht wirklich den richtigen anfang. Sei $\begin{eqnarray} f:[a,b] -> \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion, die auf dem Intervall (a,b) differenzierbar ist. Zeigen Sie: f ist genau dann monoton wachsend (bzw fallend) auf [a,b], wenn $\begin{eqnarray} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ ( bzw. $\begin{eqnarray} f'(x) \leq 0 \end{eqnarray}$ ) für alle $\begin{eqnarray} x \in (a,b) \end{eqnarray}$ Hierbei genügt es einen Fall zu zeigen, da der andere Fall analog ist. Also was ich weis: das f differenzierbar ist bedeutet das f in dem Intervall (a,b) eine eindeutige Ableitung besitzt. für die Monotonie muss ich ja nur beweisen das immer gilt $\begin{eqnarray} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ , immer gilt egal welchen wert ich einsetzte. Allerdings stehe ich noch etwas auf dem Schlau wie ich hierbei anfangen muss damit ich beweisen kann das es für das ganze Intervall (a,b) gilt. Vielleicht hat ja jemand einen Hinweis für mich, ich wäre sehr Dankbar LaTeX repariert. Steffen
02.07.2019, 16:33	--aA--	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, dass monoton wachsend $\begin{eqnarray} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ impliziert und, dass $\begin{eqnarray} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ monoton wachsend ist. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist monoton, falls für alle $\begin{eqnarray} x < y \in (a,b) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(x) \leq f(y) \end{eqnarray}$ . Tipp: Der Mittelwertsatz hilft dir hier weiter.
02.07.2019, 16:48	JuJu87	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schonmal für deine Antwort: Also wenn es um den Mittelwertsatz geht, muss ich dann beweisen das : $\begin{eqnarray} f`(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray}$ gilt?
02.07.2019, 17:10	--aA--	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr schon den Mittelwertsatz gehabt (also bewiesen)? Dann kannst du ihn für den Beweis verwenden. Weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ monoton ist, weißt du dass $\begin{eqnarray} f(b)-f(a) \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt und da $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_0) \geq 0 \end{eqnarray}$

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