Linearer kompakter Operator

02.07.2019, 20:32	limsup53	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearer kompakter Operator Meine Frage: $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ seien normierte Räume über einem Körper K. $\begin{eqnarray} T: X \to Y \end{eqnarray}$ sei ein linearer Operator. Wir sagen $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist kompakt, $\begin{eqnarray} :\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{T(B_x)} \end{eqnarray}$ ist kompakt in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B_x = {x \in X \mid \Vert x \Vert_x \le 1} \end{eqnarray}$ Beh.: Folgende Aussagen sind äquivalent: 1. T ist kompakt 2. Ist eine Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ in X beschränkt so hat $\begin{eqnarray} Tx_n \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge 3. Aus $\begin{eqnarray} E \subset X \end{eqnarray}$ beschränkt, folgt $\begin{eqnarray} \overline{T(E)} \end{eqnarray}$ kompakt in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ 2. Es gilt: T ist beschränkt. Meine Ideen: Aus 3 folgt 1: Klar, da $\begin{eqnarray} B_x = {x \in X \mid \Vert x \Vert_x \le 1} \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Aus 2 folgt 3: Sei $\begin{eqnarray} E \subset X \end{eqnarray}$ beschränkt. Es gilt, dass jede Folge in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Es gilt auch, dass jede beliebige Folge in $\begin{eqnarray} T(E) \end{eqnarray}$ ein Bild einer Folge in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ist. Nach 2 hat jede beliebige Folge in $\begin{eqnarray} T(E) \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge. Es folgt $\begin{eqnarray} T(E) \end{eqnarray}$ ist folgenkompakt. Es folgt $\begin{eqnarray} T(E) \end{eqnarray}$ ist kompakt und damit abgeschlossen und damit gilt $\begin{eqnarray} T(E) = \overline{T(E)} \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} \overline{T(E)} \end{eqnarray}$ kompakt in Y. Aus 1 folgt 2: Sei T kompakt. Sei $\begin{eqnarray} x_n \subset X \end{eqnarray}$ beschränkt,so gilt : $\begin{eqnarray} \exists C > 0 :\Vert x_n \Vert_x \le C \end{eqnarray}$ für alle n. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \exists C > 0 : \Vert \frac{x_n}{C} \Vert_x \le 1 \end{eqnarray}$ für alle n. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} (T \frac{x_n}{C})_n \end{eqnarray}$ hat konvergente Teilfolge gegen ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und damit hat $\begin{eqnarray} (T \frac{x_n}{C})_n \end{eqnarray}$ eine konvergente TF gegen $\begin{eqnarray} Cx_0 \end{eqnarray}$ . Zu 2: $\begin{eqnarray} B_x = {x \in X \mid \Vert x \Vert_x \le 1} \end{eqnarray}$ ist beschränkt, damit ist $\begin{eqnarray} \overline{T(B_x)} \end{eqnarray}$ kompakt und somit auch beschränkt und somit gilt $\begin{eqnarray} sup_{\Vert x \Vert_x = 1} \Vert Tx \Vert_Y < \infty \end{eqnarray}$ und damit ist T beschränkt.

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