Komplexe Zahlen, konjugiert komplex

02.07.2019, 22:35

Gurki

Komplexe Zahlen, konjugiert komplex

Meine Frage:
Hallo zusammen,

in meinen Aufzeichnungen zu meiner letzten Strömungslehre II Klausur bin ich auf folgenden Ausdruck gestoßen:

[Latex \bar z \bar = \bar x \bar + \bar i \bar \cdot \bar y /Latex]

Meine Frage ist nun, gibt es solch einen Ausdruck oder habe ich das damals in der Hektik während der Klausur falsch abgeschrieben? Wo ich hängen bleibe, ist der Querstrich auch über dem Gleichheitszeichen, das habe ich bisher so noch nicht gesehen und auch nicht in diversen Suchen gefunden. Falls das so tatsächlich existiert, bin ich für eine Erklärung dankbar.

Meine Ideen:
Komplex [Latex z=x-i\cdot y /Latex] und konjugiert komplex [Latex \bar z=x-i\cdot y /Latex] ist klar. Nur eben der Querstrich auch über dem Gleichheitszeichen nicht.

Ich bitte um Nachsicht wegen der Formeln, ich habe es im Formeleditor erzeugt, jedoch konnte ich die Formel dann nicht in den Text einbinden mit [Latex "Formel" /Latex].

02.07.2019, 22:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du $\begin{align*} \bar{z} \ \bar{=} \ \bar{x} \ \bar{+} \ \bar{\operatorname{i}} \ \bar{\cdot} \ \bar{y} \end{align*}$ ?

Da scheinen mir dann doch die Querstriche über dem Gleichheitszeichen und den Rechenzeichen zu viel.

14.07.2019, 21:36

Gurki

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Meinst du $\begin{align*} \bar{z} \ \bar{=} \ \bar{x} \ \bar{+} \ \bar{\operatorname{i}} \ \bar{\cdot} \ \bar{y} \end{align*}$ ?

Da scheinen mir dann doch die Querstriche über dem Gleichheitszeichen und den Rechenzeichen zu viel.

Hallo Leopold,

danke für Deine Antwort. Wenn die Querstriche über den Rechenzeichen nicht da sind werde ich leider auch nicht schlau draus (siehe Bild). Was bedeutet z.B. ein i mit Querstrich drüber und kann ich die Gleichung umformen in z=... ohne Querstrich?

[attach]49505[/attach]

Gurki

14.07.2019, 23:22

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist $\begin{align*} z = x + \operatorname{i}y \end{align*}$ mit $\begin{align*} x,y \in \mathbb{R} \end{align*}$ eine komplexe Zahl, so versteht unter ihrem konjugiert Komplexen die Zahl

$\begin{align*} \bar{z} = x - \operatorname{i}y \end{align*}$

Nimm speziell $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} z=x \end{align*}$ rein reell ist. Dann erkennst du die Regel

$\begin{align*} \bar{x} = x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$

Nimm speziell $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} z = \operatorname{i}y \end{align*}$ rein imaginär ist. Dann erkennst du die Regel

$\begin{align*} \overline{\operatorname{i}y} = - \operatorname{i}y \end{align*}$ für alle $\begin{align*} y \in \mathbb{R} \end{align*}$

Und hierin noch einmal speziell $\begin{align*} y=1 \end{align*}$ . Dann wird daraus

$\begin{align*} \bar{\operatorname{i}} = - \operatorname{i} \end{align*}$

Man kann nun zeigen, daß die komplexe Konjugation mit allen Grundrechenarten verträglich ist:

$\begin{align*} \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w} \, , \ \ \overline{z-w} = \bar{z} - \bar{w} \, , \ \ \overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w} \, , \ \ \overline{\ \left( \frac{z}{w} \right) \ } = \frac{\bar{z}}{\bar{w}} \end{align*}$

Dann kannst du natürlich mit den obigen Regeln auch so rechnen:

$\begin{align*} \overline{x + \operatorname{i}y} = \bar{x} + \bar{\operatorname{i}} \cdot \bar{y} = x - \operatorname{i}y \end{align*}$

Die Regel fürs komplexe Konjugieren ist ganz einfach: Realteil lassen, beim Imaginärteil das Vorzeichen ändern.

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahlen, konjugiert komplex

Verwandte Themen