Orthogonale Projektion

03.07.2019, 11:51	mathfordummies	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe ein paar Probleme mit meiner Aufgabe zum Thema orthogonale Projektion. Habe die Aufgabe als Bild mit angehäng. Meine Ideen: Fange mal bei Aufgabe a) an. Habe dort einfach mal die alles ausgeschrieben und dann umgeformt, wobei ich denke das ich die Umformung nicht so einfach ohne weitere Begründungen machen kann. a) $\begin{eqnarray} \pi_{u_{i}} \circ \pi_{u_{j}} = (u_{i}u_{i}^{T})[(u_{j}u_{j}^{T})x] = u_{i}(u_{i}^{T}u_{j})u_{j}^{T}x \end{eqnarray}$ Ich hätte gesagt, dass ich diese Umformung so durchführen darf, da es sich auf der rechten Seite nur um multiplikationen im Vektorraum handelt. Das mittlere Skalarprodukt ist dann, da es sich um eine Orthonormalbasis handelt natürlich 0. Darf ich es so aufschreiben? Viele Grüße Svenja -------- Da ich nicht denke das es richtig ist habe ich mnoch mal versucht einen anderen Weg einzuschlagen. In der VL hatten wir folgende Summe für die orthogonale Projektion von v aus V: $\begin{eqnarray} u=\sum\limits_{i=1}^{r} (v,b_{i})b_{i} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} B=\left\{ b_{i},...b_{r} \right\} \end{eqnarray}$ eine ONB von dem Unterraum ist. Dann erhält man doch für $\begin{eqnarray} \pi_{u_{i}}=(vu_{i})u_{i} \end{eqnarray}$ . Kann ich dies so schreiben? Wenn ich das dann einfach ineinander einsetze erhalte ich auch das Skalarprodukte von 2 Orthogonalstehenden Vektoren ist 0. Mir ist zwar sofort klar das die orthogonale Projektion von v auf einen Basisvektor nochmal orthogonal projeziert auf einen anderen Basisvektor gleich 0 ist, da sie ja senkrecht aufeinander stehen aber ich habe so meine Probleme damit dies Mathematisch aufzuschreiben. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte. Bei Aufgabeteil b) weiß ich noch nicht so recht wie ich es aufschreiben soll. Viele Grüße Svenja ---------- Sei $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \pi_{u_{i}}=(u_{i}u_{i}^{T})x <br /> \pi_{u_{i}}=u_{i}(u_{i}^{T}x) <br /> \pi_{u_{i}}=u_{i}<u_{i},x> <br /> \pi_{u_{i}}=<x,u_{i}>u_{i}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Schritt1: Matrizenmultiplikation ist assoziativ Schritt2: Klammer entspricht gerade dem Standardskalarprodukt Schritt3: Skalare Multiplikation mit einem Vektor ist kommutativ Die letzte Zeile sind gerade die Summanden, der in der VL gezeigten Summe der othogonalen Projektion. Dies entspricht den Basisanteilen der orthogonalen Projektion von x auf u. a) $\begin{eqnarray} <br /> \pi_{u_{i}}=<x,u_{i}>u_{i}<br /> \pi_{u_{j}}=<x,u_{j}>u_{j}<br /> <br /> \pi_{u_{i}}(\pi_{u_{j}})=<<x,u_{j}>u_{j},u_{i}>u_{i}<br /> \end{eqnarray}$ Wobei das äußere Skalarprodukt wegen der zwei orthogonalen Vektoren gleich 0 ist. b) Summiert man alle Basisanteile auf erhält man die orthogonale Projektion von v auf ganz U $\begin{eqnarray} <br /> \pi_{u_{1}}+...\pi_{u_{r}}=<x,u_{1}>u_{1}+...+<x,u_{r}>u_{r}=\sum\limits_{i=1}^{r}<x,u_{i}>u_{i}<br /> \end{eqnarray}$ Dies ist die in der VL gezeigte orthogonale Projektion von v auf U Wäre schön wenn jemand drüber schauen könnt ob alles richtig ist. Viele Grüße Svenja Willkommen im Matheboard! Ich habe Deine drei Beiträge zusammengefasst, sonst sieht es von außen so aus, als ob schon geholfen wird. Viele Grüße Steffen
05.07.2019, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c) Die linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ werden nicht fixiert. Bilde $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ auf die Ebene $\begin{eqnarray} U=span\{\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\}<\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ab, dann hast du schon 4 Bilder von 4 Basisvektoren, denn die 4 Vektoren sind l.u. Damit ist die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ festgelegt. Basiswechsel zur Standardbasis ergibt die gesuchte Matrix. Überprüfe, ob die 4 Vektoren tatsächlich l.u. sind ! Überprüfe, ob diese lineare Abbildung, die offensichtlich eine Projektion auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist, tatsächlich eine orthogonale Projektion auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist !

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »