Zwischenwertsatz, Satz von Rolle

03.07.2019, 12:47	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz, Satz von Rolle Hallo liebes Matheforum, ich sitze gerade an folgender Aufgabe; es geht um folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R -> \mathbb R , f(x) = x^5 -4x -1 \end{eqnarray}$ hierbei soll ich a) Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zeigen das die Funktion mindestens drei reelle Nullstellen besitzt. b) Mit hilfe des Satzes von Rolle zeigen das sie höchstens drei reelle Nullstellen und damit dann genau drei reelle Nullstellen besitzt. Ich bin relativ neu im Umgang mit diesen Sätzen daher habe ich hier noch erhebliche Probleme. Also bei dem Zwischenwertsatz, muss es sich ja um eine stetige Funktion handeln, und ich suche ja den Wert s, welcher zwischen den beiden Funktionswerten a und b existiert. sprich $\begin{eqnarray} f(a)\leq s\leq f(b) oder f(b)\leq s\leq f(a) \end{eqnarray}$ sodann es die Zahl $\begin{eqnarray} x \in \left[a,b\right] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = s \end{eqnarray}$ gibt, wo dann ja x die gesuchte Nullstelle wäre wenn s = 0 ist. Allerdings verstehe ich noch nicht so wirklich wie ich das hierbei nun Anwenden kann. Wenn jemand etwas Hilfe hätte wäre ich dankbar
03.07.2019, 13:43	nullstelle07	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme doch zunächst mal 3 unterschiedliche Intervalle, wo ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte stattfindet, sprich wo f(a)<0<f(b) gilt. Das ist hier ja schnell erledigt.
03.07.2019, 14:04	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke für die Antwort , also wenn ich mir die Funktion graphisch aufzeigen lasse, dann wären das ja zum beispiel die Intervalle [-2,-1] , [-1,0] und [1,2] oder sehe ich das falsch?
03.07.2019, 14:20	nullstelle07	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist korrekt und rechnerisch ja auch einfach zu zeigen: Wegen f(-2)=-25<0<2=f(-1) folgt, dass es in [-2;-1] mindestens eine Nullstelle geben muss. Analoges gilt für die beiden anderen Intervalle. Um die Brücke zu b) zu spannen, kann man so vorgehen: Angenommen es gäbe sogar zwei Nullstellen in [-2;-1], dann müsste nach dem Satz von Rolle... Ich kann als Gast keine Links posten, aber google doch mal "Satz von Rolle Mathe für Nicht-Freaks" und lass dich unten von den Beispielen im Artikel inspirieren.
03.07.2019, 15:56	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, danke für eure Hilfe =)

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