Verschoben! RNGs und Zufallsgrößen

04.07.2019, 11:18	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich gefragt, was eigentlich die mathematische Beschreibung eines Zufallszahlengenerators ist. In der Programmierung ist das eine Prozedur $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ohne Argumente, welche bei jedem Aufruf eine neue Zufallszahl $\begin{eqnarray} X()\in\mathbb R \end{eqnarray}$ als Wert hat. In der Mathematik gibt es zustandsbehaftete Funktionen nicht, daher muss der Zustand explizit als Argument gegeben sein. Das einfachste was man machen kann, ist, den Zustand als eine Zahl $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray}$ zu sehen. Dann ist $\begin{eqnarray} X\colon\mathbb N_0\to\mathbb R \end{eqnarray}$ . Nun gibt es bei einer diskreten Bildmenge für jeden Wert $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aber eine Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(X=x) \end{eqnarray}$ . Demnach muss es sich bei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ um eine Zufallsgröße handeln. Ein Zufallszahlengenerator kann einen Seed $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ haben. Dem entspricht eine Familie $\begin{eqnarray} (X_s) \end{eqnarray}$ . D.h. die Zufallsgröße ist durch den Seed parametrisiert. Ergebnis der Überlegung: Zufallszahlengeneratoren sind genau die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X\colon \mathbb N_0\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , oder allgemeiner $\begin{eqnarray} X\colon\mathbb N_0\to\Omega \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine beliebige Menge von Objekten ist. Eine Überlegung, ob diese Darstellung mit der Theorie verträglich ist. Nach der Inversionsmethode lässt sich ein Generator $\begin{eqnarray} X(n) \end{eqnarray}$ mit einer beliebigen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ angeben, nämlich indem man $\begin{eqnarray} X(n) := F^{-1}(U(n)) \end{eqnarray}$ setzt, wobei $\begin{eqnarray} U\colon\mathbb N_0\to[0,1] \end{eqnarray}$ der Generator mit der uniformen Verteilung ist, der hat die Dichte $\begin{eqnarray} f_U(x)=1 \end{eqnarray}$ und die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_U(x)=\int_0^x f_U(t)\,\mathrm dt = x = \operatorname{id}(x). \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ monoton steigend ist, gilt $\begin{eqnarray} \{X\le x\} = \{n\mid X(n)\le x\} = \{n\mid F^{-1}(U(n))\le x\} = \{n\mid U(n)\le F(x)\} = \{U\le F(x)\} \end{eqnarray}$ Man erhält $\begin{eqnarray} F_X(x)=P(X\le x) = P(U\le F(x)) = F_U(F(x)) = \operatorname{id}(F(x)) = F(x) \end{eqnarray}$ . Somit hat $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ tatsächlich die gewünschte Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Mir ist das irgendwie zwielichtig. Wenn $\begin{eqnarray} X\colon\mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine Zufallsgröße sein soll, dann muss der Definitionsbereich $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\mathbb N,\Sigma,P) \end{eqnarray}$ bilden. Nun wäre aber $\begin{eqnarray} P(A)=0 \end{eqnarray}$ für jedes endliche Ereignis $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Es ist jedoch nach den Kolmogorow-Axiomen gefordert, dass $\begin{eqnarray} P(\bigcup_{i\in I} A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i), \end{eqnarray}$ sofern $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ abzählbar ist und die $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt sind. Somit ist $\begin{eqnarray} \Sigma\ne 2^\mathbb N \end{eqnarray}$ , d.h. es kann sich bei $\begin{eqnarray} (\mathbb N,\Sigma,P) \end{eqnarray}$ nicht um einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum handeln.* Trotzdem erscheint mir eine Aussage wie $\begin{eqnarray} P(k\mathbb N)=1/k \end{eqnarray}$ sinnvoll, wobei mit $\begin{eqnarray} k\mathbb N \end{eqnarray}$ die durch $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ teilbaren natürlichen Zahlen gemeint sind. Demnach müssen die $\begin{eqnarray} k\mathbb N \end{eqnarray}$ zur Sigma-Algebra gehören. Die Sigma-Algebra müsste aus der leeren Menge und abzählbar unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ aufgebaut sein. Es stellt sich die Frage, ob auch alle abzählbar unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ zur Sigma-Algebra gehören. Angenommen, man hat so einen Würfelwurf-Generator $\begin{eqnarray} X\colon\mathbb N_0\to\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ . Da ist $\begin{eqnarray} X(0)=6 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} X(n)\ne 6 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\ge 1 \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich nach $\begin{eqnarray} P_X(\{6\}) \end{eqnarray}$ fragen. Es muss nun gelten $\begin{eqnarray} P_X(A) = P(X^{-1}(A)) = P(X\in A). \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} A=\{6\} \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} X^{-1}(A)=\{0\} \end{eqnarray}$ . Von $\begin{eqnarray} P(\{0\}) \end{eqnarray}$ dürfen wir aber nicht sprechen, da $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ endlich ist und somit nicht zur Sigma-Algebra gehört. Das ist leider widersprüchlich. Daher kann $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray*}$ keine Zufallsgröße sein. Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

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