Aufgabe mit Cauchyfolge

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Rosalie26 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe mit Cauchyfolge
Hallo liebe alle, das hier ist meine erste Frage in diesem Forum Willkommen , also bitte nehmt mir meine Schreibweise nicht allzu übel. (Im Folgenden meine ich statt e natürlich das griechische Epsilon) Augenzwinkern

Zu meiner Frage:
Die Aufgabe lautet: "Es sei (X,ll ll) ein normierter Raum und a X. Zeigen Sie: ist (xk) eine Cauchyfolge in X, die eine gegen a kovergente Teilfolge besitzt, so konergiert (xk) gegen a."

Dass ich zum Lösen dieser Aufgabe, dass Kriterium für eine Cauchyfolge anwenden muss, ist mir klar. Jedoch als ich diesen Versuch startete und meinen ersten Lösungsschritt mit dem der Musterlösung verglichen habe, kapierte ich garnichts mehr...

Der erste Schritt der Musterlösung lautet: "Sei e > 0 beliebig. Da (xk) eine Cauchyfolge ist, gilt: es existiert ein n0 N, so dass für jedes k,l N >gleich n0 die Ungleichung
ll xk - xl ll < e/2 gilt."

Die allgemeine "Formel" für eine Cauchyfolge ist ja ll xk - xl ll < e.

Wieso um alles in der Welt wird hier nun mit e/2 gearbeitet? Aus der Aufgabe geht dies für mich in keiner Weise hervor.. verwirrt

Im Folgenden noch die restlichen Lösungsschritte:

"Zudem existiert mach Annahme eine Teilfolge (xkj), die gegen a X kovergiert, d.h. es existiert ein n1 N, so dass für jedes j N mit j>gleich n1 die Abschätzung ll xkj - a ll < e/2 gültig ist.

Sei k >gleich n0 beliebig. Als nächstes wählen wir ein beliebiges l >gleich max {n0,n1].
Damit folgt also

llxk - a ll <gleich ll xk - xkj ll + ll xkj - a ll < e/2 + e/2 = e."

Ich wäre dankbar um Hilfe, denn vielleicht ist es so simpel, dass ich es nicht sehen kann...

Liebe Grüße
Rosalie 26

Willkommen im Matheboard!
Ich habe das falsch codierte Zeichen durch LaTeX ersetzt. Verwende am besten das nächste Mal gleich unseren Formeleditor.
Den zweiten Beitrag hab ich gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingungen gelten für alle kleinen e, also auch für alle kleinen e/2. Der Witz ist, dass man e/2 wählt, damit am Schluss llxk - a ll <e herauskommt, denn das ist die Originaldefinition für Konvergenz der Folge (xK) gegen den Grenzwert a. Beginnt man mit e statt e/2, dann gilt llxk - a ll <2e, was genau so gut für die Konvergenz der Folge (xK) gegen den Grenzwert a spricht, es sieht nur nicht so schön aus.
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Ergänzung: man sollte sich nicht wundern, wenn Details eines Beweises nicht aus der Aufgabe hervorgehen. Wo wäre sonst die Kreativität im Beweis?
Rosalie26 Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay.. also ist damit gemeint, dadurch, dass bei Konvergenz einer Folge ja fast alle Glieder (also unendlich viele) innerhalb von e liegen, auch unendlich viele innerhalb von e/2 liegen, nur eben dafür ein paar mehr endliche außerhalb dieses Abstandes?!

Dann ist mir das aufjedenfall schoneinmal klarer Freude

Doch wie kann ich den letzten Schritt dann noch verstehen? Da finde ich die Musterlösung doch etwas ungenau und ich bin noch neu auf dem Gebiet der Mathematik.

Wie wird diese Ungleichung aufgestellt bzw. wieso gilt diese? Ich habe gerade mehrmals versucht es mir vorzustellen, aber stehe irgendwie auf dem Schlauch verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im letzten Schritt wird die sattsam bekannte Dreiecksungleichung verwendet: |x-y|=|x-z+z-y|<=|x-z|+|z-y|
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