Trigonometrische Gleichung

04.07.2019, 09:13

jaykee07

Trigonometrische Gleichung

Meine Frage:
Hallo Leute!

Ich habe eine Frage zu dem Thema "Trigonometrische Gleichungen" .

In der Aufgabe steht :

Löse die Gleichung,wenn die Grundmenge alle Reele Zahlen sind.

Die Gleichung: sin(0.5x - pi/3) = -0.1

Meine Ideen:
Vielen Dank im Voraus!

04.07.2019, 09:35

G040719

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RE: Trigonometrische Gleichungen Aufgabe?
0,5x-pi/3 = arc sin(-0,1)

x= ... (Den arc-Wert liefert dir dein TR, den du auf das Bogenmaß= rad einstellen musst, arc sin = sin^-1 auf dem TR)

Beachte, dass der sin die Periode pi hat, wenn du alle Werte angeben sollst.
x= ... +k*pi, k aus Z

04.07.2019, 11:17

riwe

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RE: Trigonometrische Gleichungen Aufgabe?

Zitat:

Original von G040719
0,5x-pi/3 = arc sin(-0,1)

x= ... (Den arc-Wert liefert dir dein TR, den du auf das Bogenmaß= rad einstellen musst, arc sin = sin^-1 auf dem TR)

Beachte, dass der sin die Periode pi hat, wenn du alle Werte angeben sollst.
x= ... +k*pi, k aus Z

neue Periode verwirrt

04.07.2019, 12:06

G040719

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RE: Trigonometrische Gleichungen Aufgabe?
Sorry, habe die 2 beim Tippen vergessen --> k*2pi

Danke für den Hinweis. smile

04.07.2019, 12:59

Steffen Bühler

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RE: Trigonometrische Gleichungen Aufgabe?
Durch den Faktor 0,5 ist die Periode hier $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Damit erwischt man aber nur die Schnittpunkte bei steigender Sinuskurve:

Die anderen bekommt man dann durch Symmetrieüberlegungen.

Viele Grüße
Steffen

04.07.2019, 13:09

sinus07

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Ich bin nicht sicher, ob das hier wirklich für diese Aufgabe weiter hilft, da die Periode p ja eine andere ist.
Von daher nochmal zur Inspiration eine Skizze (es gibt zwei periodisch immer wieder kehrende Lösungen) und der Hinweis, dass transformierte Sinusfunktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot sin(b \cdot (x-c))+d \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} p=\frac{2 \cdot \pi}{|b|} \end{eqnarray*}$ besitzen.
Nur die Streckung oder Stauchung in x-Richtung hat also Einfluss auf die Periode p.

Ich sehe gerade dass ein Moderator schon reagiert hat, ich schicke die Antwort aber dennoch ab.

05.07.2019, 09:19

HAL 9000

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Man muss gar nicht lange grübeln, welche Periode und welche Symmetrien diese gestreckte/gestauchte Funktion nun haben mag, wenn man über die einfache Sinusfunktion Bescheid weiß und ansonsten einfach nur konsequent umformt:

Substitution $\begin{eqnarray*} z=0.5x+\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ überführt die Gleichung in $\begin{eqnarray*} \sin(z)=-0.1 \end{eqnarray*}$ mit den beiden $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} z=\arcsin(-0.1)+2k\pi \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z=\pi-\arcsin(-0.1)+2k\pi \end{eqnarray*}$ , beide mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Und nun einfach via $\begin{eqnarray*} x = 2z-\frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ rücksubstituieren ergibt entsprechend die beiden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} x=2\arcsin(-0.1)-\frac{2}{3}\pi+4k\pi \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=-2\arcsin(-0.1)+\frac{4}{3}\pi+4k\pi \end{eqnarray*}$ .

05.07.2019, 09:24

Leopold

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Ein konsequentes Rückwärtsrechnen liefert automatisch die periodisch korrekten Werte. In neuen Perioden zu denken ist überflüssig und, finde ich, fehleranfällig. Eigentlich muß man nur Folgendes wissen:

Zu lösen ist die Gleichung

$\begin{align*} \sin u = a \ \ \text{mit} \ \ |a|<1 \end{align*}$

Die Lösungsmenge besteht aus zwei Reihen. Zunächst bestimmt man den Taschenrechnerwert

$\begin{align*} u = \arcsin a \ \in \left( - \frac{1}{2} \pi \, , \frac{1}{2} \pi \right) \end{align*}$

Dann gibt es eine zweite Lösung:

$\begin{align*} u^* = \pi - u \ \in \left( \frac{1}{2} \pi \, , \frac{3}{2} \pi \right) \end{align*}$

Mit $\begin{align*} u,u^* \end{align*}$ hat man sämtliche Lösungen im Intervall $\begin{align*} \left[ - \frac{1}{2} \pi \, , \frac{3}{2} \pi \right] \end{align*}$ der Länge $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ .

Jetzt kommt die $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ -Periode der Sinusfunktion ins Spiel, und man erhält zwei Lösungsreihen:

$\begin{align*} u_k = u + 2 \pi k \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

$\begin{align*} u_k^* = u^* + 2 \pi k \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Und für die Aufgabe substituiert man $\begin{align*} u = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \pi \end{align*}$ und bekommt die $\begin{align*} x \end{align*}$ -Werte aus den $\begin{align*} u \end{align*}$ -Werten durch Auflösen nach $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Ich klicke gerade auf "Vorschau" und sehe, daß HAL schon geantwortet hat. Da mein Beitrag die Sache noch eine Spur allgemeiner abhandelt, schicke ich ihn dennoch los.

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