Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen

04.07.2019, 22:18	NeuerNutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen Meine Frage: Ich habe eine Funktion F(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)), die mit der Kettenregel abgeleitet werden soll. Wie funktioniert das genau? Meine Ideen: Meine Idee wäre f'(g,h) * g' * h' aber wonach soll ich f(x,y) ableiten? In der Aufgabe ist von zwei Ableitungen die Rede, nicht von vier.
05.07.2019, 01:28	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen Da über F bezüglich Definitions- und Zielmenge nichts bekannt ist, was aber insbesondere bei Verkettung unumgänglich wäre, denke ich mir folgendes gängiges Beispiel zur Veranschaulichung aus: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(u,v)=u^{2}+v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x,y)=\begin{pmatrix} g(x,y) \\ h(x,y) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} e^{x+y} \\ sin(xy) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x,y)=f\left[p(x,y)\right]=f\left[g(x,y),h(x,y)\right]=e^{2x+2y}+sin(xy) \end{eqnarray}$ Dann kann $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ wie folgt abgeleitet werden: Methode 1 Die Ableitung ist der Gradient von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nabla F(x,y)=\begin{pmatrix} 2e^{2x+2y}+ycos(xy) & 2e^{2x+2y}+xcos(xy) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Methode 2 Dir wurde aufgetragen, die Kettenregel zu benutzen. Auch im Mehrdimensionalen gilt im Prinzip $\begin{eqnarray} \left\{ f\left[p(x,y)\right] \right\}'=f'\left[p(x,y)\right]\cdot p'(x,y) \end{eqnarray}$ , aber mit den Besonderheiten des Mehrdimensionalen. Die (äußere) Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \nabla f(u,v)=\begin{pmatrix} 2u & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Ableitung "an der Stelle" $\begin{eqnarray} p(x,y) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \nabla_f \left[g(x,y),h(x,y)\right] =\begin{pmatrix} 2e^{x+y} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die (innere) Ableitung von $\begin{eqnarray} p(x,y) \end{eqnarray}$ ist die Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray} \mathcal{J}_{p}(x,y)=\begin{pmatrix} e^{x+y} & e^{x+y} \\ ycos(xy) & xcos(xy) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Analog zum eindimensionalen Fall sind nun diese beiden Ableitungen zu multiplizieren. Wenn Du das Matrixprodukt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2e^{x+y} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{x+y} & e^{x+y} \\ ycos(xy) & xcos(xy) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun noch selbst vollendest, wirst Du feststellen, dass das Ergebnis mit Methode 1 übereinstimmt.
05.07.2019, 08:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was klauss an einem Beispiel vorgeführt hat, hier noch einmal allgemein. In $\begin{align} f(u,v) \end{align}$ als äußerer Funktion wird substituiert: $\begin{align} u=g(x,y), \ v=h(x,y) \end{align}$ . Man erhält so die Verkettung $\begin{align} F(x,y) = f \left( g(x,y), h(x,y) \right) \end{align}$ Der Gradient von $\begin{align} F \end{align}$ als Zeilenvektor ist dann $\begin{align} F'(x,y) = \nabla F(x,y) = \left. \left( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial h}{\partial x} \, , \, \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial h}{\partial y} \right) \right\|_{u = g(x,y), \, v = h(x,y)} \end{align}$ Aus Gründen der Übersichtlichkeit habe ich die Argumente unterdrückt: $\begin{align} (x,y) \end{align}$ bei den partiellen Ableitungen von $\begin{align} g,h \end{align}$ und $\begin{align} (u,v) \end{align}$ bei den partiellen Ableitungen von $\begin{align} f \end{align}$ . Und natürlich sind hinterher wieder $\begin{align} u=g(x,y), v=h(x,y) \end{align}$ einzusetzen.

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