Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen |
04.07.2019, 22:18 | NeuerNutzername | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen Ich habe eine Funktion F(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)), die mit der Kettenregel abgeleitet werden soll. Wie funktioniert das genau? Meine Ideen: Meine Idee wäre f'(g,h) * g' * h' aber wonach soll ich f(x,y) ableiten? In der Aufgabe ist von zwei Ableitungen die Rede, nicht von vier. |
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05.07.2019, 01:28 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen Da über F bezüglich Definitions- und Zielmenge nichts bekannt ist, was aber insbesondere bei Verkettung unumgänglich wäre, denke ich mir folgendes gängiges Beispiel zur Veranschaulichung aus: Dann kann wie folgt abgeleitet werden: Methode 1 Die Ableitung ist der Gradient von Methode 2 Dir wurde aufgetragen, die Kettenregel zu benutzen. Auch im Mehrdimensionalen gilt im Prinzip , aber mit den Besonderheiten des Mehrdimensionalen. Die (äußere) Ableitung von ist Diese Ableitung "an der Stelle" : Die (innere) Ableitung von ist die Jacobi-Matrix Analog zum eindimensionalen Fall sind nun diese beiden Ableitungen zu multiplizieren. Wenn Du das Matrixprodukt nun noch selbst vollendest, wirst Du feststellen, dass das Ergebnis mit Methode 1 übereinstimmt. |
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05.07.2019, 08:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was klauss an einem Beispiel vorgeführt hat, hier noch einmal allgemein. In als äußerer Funktion wird substituiert: . Man erhält so die Verkettung Der Gradient von als Zeilenvektor ist dann Aus Gründen der Übersichtlichkeit habe ich die Argumente unterdrückt: bei den partiellen Ableitungen von und bei den partiellen Ableitungen von . Und natürlich sind hinterher wieder einzusetzen. |
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