Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen

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Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen
Meine Frage:
Ich habe eine Funktion F(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)), die mit der Kettenregel abgeleitet werden soll. Wie funktioniert das genau?

Meine Ideen:
Meine Idee wäre f'(g,h) * g' * h' aber wonach soll ich f(x,y) ableiten? In der Aufgabe ist von zwei Ableitungen die Rede, nicht von vier.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel mit mehreren inneren Funktionen
Da über F bezüglich Definitions- und Zielmenge nichts bekannt ist, was aber insbesondere bei Verkettung unumgänglich wäre, denke ich mir folgendes gängiges Beispiel zur Veranschaulichung aus:








Dann kann wie folgt abgeleitet werden:

Methode 1
Die Ableitung ist der Gradient von



Methode 2
Dir wurde aufgetragen, die Kettenregel zu benutzen. Auch im Mehrdimensionalen gilt im Prinzip , aber mit den Besonderheiten des Mehrdimensionalen.

Die (äußere) Ableitung von ist
Diese Ableitung "an der Stelle" :


Die (innere) Ableitung von ist die Jacobi-Matrix

Analog zum eindimensionalen Fall sind nun diese beiden Ableitungen zu multiplizieren. Wenn Du das Matrixprodukt

nun noch selbst vollendest, wirst Du feststellen, dass das Ergebnis mit Methode 1 übereinstimmt.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was klauss an einem Beispiel vorgeführt hat, hier noch einmal allgemein.

In als äußerer Funktion wird substituiert: . Man erhält so die Verkettung



Der Gradient von als Zeilenvektor ist dann



Aus Gründen der Übersichtlichkeit habe ich die Argumente unterdrückt: bei den partiellen Ableitungen von und bei den partiellen Ableitungen von . Und natürlich sind hinterher wieder einzusetzen.
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