Kompakte und offene Menge

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06.07.2019, 15:14	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakte und offene Menge Hallo, in einem Beweis für die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Additivität es Jordan-Maßes wird folgende Behauptung verwendet. Für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon>0, j \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} B,B_j \in F^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bar{B} \subset A, A_j \subset \overset{\circ}{B_j} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A:= \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j, (A_j) \subset F^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F^n \end{eqnarray}$ bezeichne dabei den Ring der Figuren. Wenn ich mir die Menge A zum Beispiel als Quadrat vorstelle, dann würde doch wegen $\begin{eqnarray} \bar{B} \subset A \end{eqnarray}$ die Menge B komplett in A liegen, z.b als einfach kleineres Quadrat. Aber wie passt das mit der 2. Bedingung zusammen: $\begin{eqnarray} A_j \subset \overset{\circ}{B_j} \end{eqnarray}$ . Wie soll den A größer sein als B, wenn jede Teilmenge von A im Inneren jeder Teilmenge von B liegt? Wo ist da mein Denkfehler?
07.07.2019, 09:21	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Hat keiner eine Idee?
07.07.2019, 09:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Ich sehe keine Beziehung zwischen B und den $\begin{eqnarray} B_j \end{eqnarray}$ nur zwischen A und den $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ . Insofern verstehe ich dein Problem gerade nicht.
07.07.2019, 10:27	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Wie meinst du das? Es ist doch $\begin{eqnarray} A_j \subset \overset{\circ}{B_j} \end{eqnarray}$ aber andererseits liegt das abgeschlossene B ganz in A. Wie passt das zusammen?
07.07.2019, 11:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Ja und? $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_j \end{eqnarray}$ haben nichts miteinander zu tun. Du kannst B auch C nennen. Ich sehe nirgends, dass etwa $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ die Vereinigung der $\begin{eqnarray} B_j \end{eqnarray}$ sein sollte
07.07.2019, 11:13	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Achso. Das könnte mein Denkfehler sein. Was bedeutet dann die 2. Bedingung anschaulich. Vllt wenn man es mit dem Lebesgue-Maß ausdrückt: $\begin{eqnarray} \lambda^n (B_j)\geq (1+ \epsilon) \lambda^n (A_j) \end{eqnarray}$
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07.07.2019, 11:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Du meinst $\begin{eqnarray} A_j \subset \overset{\circ}{B_j} \end{eqnarray}$ ? Wenn du dir A als Quadrat vorstellst, können die $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ auch Quadrate sein, und jedes liegt z.B. im Inneren einer Kreisscheibe $\begin{eqnarray} B_j \end{eqnarray}$ Eine Ungleichung, wie du sie aufgeschrieben hast, muss aber nicht gelten. Das $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ könnte von j abhängen, etwa $\begin{eqnarray} \varepsilon(j)=\frac 1 j \end{eqnarray}$
07.07.2019, 11:28	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Alles klar. Es wird im Beweis weiterargumentiert, dass $\begin{eqnarray} B \bigcup_{j=1}^{\infty} B_j \end{eqnarray}$ . Sowas müsste doch immer gehen oder gäbe es irgenwo ein Problem?
07.07.2019, 11:31	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Ich meinte natürlich: $\begin{eqnarray} B \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} B_j \end{eqnarray}$ .
07.07.2019, 11:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Diese Inklusion ergibt sich aus den gemachten Voraussetzungen: $\begin{eqnarray} B\subset \bar B\subset A = \ldots \end{eqnarray}$
07.07.2019, 11:47	SimonStudent321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Das verstehe ich gerade nicht. Wo kommen da die $\begin{eqnarray} B_j \end{eqnarray}$ ins Spiel.
07.07.2019, 11:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakte und offene Menge Wie ist A definiert? Welche Beziehung gilt zwischen A_j und B_j ?

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