Surjektivität beweisen

06.07.2019, 16:08

Rosalie26

Surjektivität beweisen

Meine Frage:
Hallo liebe alle, eine Frage zur Surjektivität bzw. zu deren Beweis beschäftigt mich absolut jedesmal, wenn ich mir die Lösung von Aufgaben anschaue...

Folgendes Beispiel: "Sei f: RxR -> R definiert durch f((x,y))= x+y für alle (x,y) element RxR. Dann ist f surjektiv, denn wenn z element R, dann gilt (0,z) element RxR, und es ist f((0,z))= 0+z=z. Jedes z besitzt also ein Urbild unter f."

Wo kommt denn auf einmal die Null her? Dass für surjektivität allgemein gelten muss, dass es für jedes Elemtn aus der Wertemenge ein Urbild geben muss ist mir klar. So ist mir also auch der Ansatz klar, dass man sich ein beliebiges Element (z) aus der Wertemenge herausnimmt und für dieses zeigen möchte, dass es, egal welchen Wert es annimmt, immer ein Urbild haben wird. Doch wieso wird in diesem so wie auch vielen anderen Beweisen immer mit einer 0 gearbeitet? Nach meinem Verständnis beweise ich dann nur eingeschränkt, da ich ja ein konkretes Beispiel heranziehen.. Oder liege ich da falsch? Ich verstehe das so, dass dann jedes x den Wert 0 haben müsste und jedes y immer den Wert z, damit alle jeweils das Bild z hätten. Und das kann doch auch nciht sein?

Um eine einfache Erklärung wäre ich sehr dankbar
Liebe Grüße smile

Meine Ideen:
Um Surjektivität einer Abbildung zu beweisen, muss man mit einem beliebigen Element n aus der Wertemenge beginnen und ein Element m aus der Definitionsmenge explizit angeben, für das f(m)= n gilt.

06.07.2019, 16:35

Mulder

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RE: Surjektivität beweisen

Zitat:

Original von Rosalie26
Um Surjektivität einer Abbildung zu beweisen, muss man mit einem beliebigen Element n aus der Wertemenge beginnen und ein Element m aus der Definitionsmenge explizit angeben, für das f(m)= n gilt.

Genau das ist hier doch auch gemacht worden.

Man hat sich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hergenommen und dafür ein Urbild angegeben, in diesem Fall eben $\begin{eqnarray*} (0,z) \in \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt worden war, also keine weiteren Bedingungen an $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gestellt wurden, außer eben $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , ist damit doch die Surjektivität bewiesen.

Es wurde ja kein konkretes Beispiel für das Element aus der Zielmenge genommen, sondern es wurde für ein beliebiges Element aus der Zielmenge ein Beispiel für ein dazu passendes Urbild gewählt. Und dann ist alles okay, das reicht ja zum Existenznachweis.

Warum wurde nun mit dem Urbild $\begin{eqnarray*} (0,z) \end{eqnarray*}$ gearbeitet? Naja, dafür gibt es keine zwingende Erklärung, außer die Einfachheit.

Man hätte natürlich auch ein anderes Urbild für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ konstruieren können, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \left ( \frac{z}{2}, \frac{z}{2} \right ) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (-5, z+5) \end{eqnarray*}$ , aber in aller Regel versucht man ja, es möglichst einfach zu halten.

Von daher ist die Wahl $\begin{eqnarray*} (0,z) \end{eqnarray*}$ nicht zwingend, aber schon irgendwie naheliegend. Und irgendwas muss man ja nehmen. Augenzwinkern

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