Quadratische Ergänzung (Diagonalmatrix)

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Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Ergänzung (Diagonalmatrix)
Hallo,

sei

Ich will eine invertierbare Matrix finden, sodass ist, da es drei Eigenwerte gibt, die jeweils positiv, negativ und null sind.

Ich habe versucht, mit der quadratischen Ergänzung und der Bilinearform diese Matrix zu bestimmen:



Jetzt habe ich die quadratische Ergänzung bezüglich gemacht:











Jetzt ist dort ein Summand zu viel, sodass ich keine Matrix aufstellen kann, die die Inverse von der Matrix ist, die aus den Einträgen in den Klammern besteht.

Wie muss ich weiter vorgehen oder habe ich die Ergänzung falsch gemacht?
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RE: Quadratische Ergänzung (Diagonalmatrix)
Warum gehst du nicht den üblichen Weg über die Eigenvektoren? verwirrt
 
 
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ist sehr umständlich diese auszurechnen, da die Eigenwerte sind.
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Dann geht es systematisch mit dem Gauß-Algorithmus.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, wie ist denn die Vorgehensweise dabei?
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Schreibe A und die Einheitsmatrix E nebeneinander. Dann werden Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert, bis A obere Dreiecksmatrix ist. Aus E wird dabei eine Matrix D. Dann ist eine Diagonalmatrix.
Dass die symmetrische Matrix und mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben ist eine Konsequenz des Trägheitssatzes von Sylvester.
Ein mögliches Zwischenergebnis ist . Dann ist
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ist dann eine Diagonalmatrix, aber lässt sich mit diesem Verfahren auch eine Matrix finden, sodass ? Oder ist das hier nicht möglich?
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Doch das geht. Du musst nur noch einen Skalierungsfaktor an das richtige Element von D anbringen.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt durch viel herumprobieren die Matrix herausbekommen. Aber wie findet man systematisch so einen Skalierungsfaktor? Und wie sähe jetzt aus?
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Wir hatten . Du willst die erste Zeile der Diagonalmatrix manipulieren, das passiert mit der ersten Zeile von D (Multiplkation einer Matrix von links bewirkt Zeilenumformungen, das muss man sich einmal klar machen. Multiplikation von rechts bewirkt Spaltenumformungen).
Wenn du in D jetzt die erste Zeile mit 1/2 multiplizierst, wird die erste Zeile der Diagonalmatrix mit 1/4 multipliziert, weil du A eben mit D und D^T multiplizierst (erste Zeile mit 1/2, erste Spalte mit 1/2).
Deswegen gilt mit auch das gewünschte .
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke Freude
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