Anwendung Umkehrsatz |
| 07.07.2019, 16:49 | LaLiLuu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anwendung Umkehrsatz Hallo! Ich muss folgende Aufgabe lösen: Sei f (x,y)^T= (e^x * cosy, e^x *siny)^T a) Ist f bijektiv? b)Für welche xo aus R^2 ist f lokal bijektiv, d. h. gibt es eine Umgebung U von xo und V von f(xo), so dass die Einschränkung fu:U->V von f auf U bijektiv ist? Meine Ideen: Für a) habe ich mir überlegt, dass f nicht bijektiv ist, da f in y periodisch ist und somit die Injektivität nicht erfüllt ist Bei b) habe ich mir gedacht, dass ich U als Einschränkung des Definitionsbereich so wählen könnte, dass y aus (1/2 Pi, 3/2 Pi ) ist, um die Periodizität zu umgehen und ich x aus den rellen Zahlen lasse. Also wäre U:= IR X (1/2 Pi, 3/2 Pi) und V:= IR. Stimmen meine Überlegungen erstmal so und falls ja, wie kann ich beweisen, dass die Einschränkung von f dann wirklich bijektiv ist? |
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| 08.07.2019, 12:02 | PWM | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Anwendung Umkehrsatz Hallo, ja, aus dem angegebenen Grund ist f nicht injektiv. Man kann auch noch erwähnen, dass f nicht surjektiv ist, weil der Null-Punkt nicht im Bild liegt. Für b) brauchst Du nur den Umkehrsatz anwenden, also zu prüfen, in welchen Punkt die Jacobi-Matrix bzw. die Ableitung f' regulär ist. Der Satz garantiert, Dir dann die Existenz eine geeigneten Umgebung. Gruß pwm |
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