Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben

07.07.2019, 16:23

MatheNoob32

Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben

Hallo!

Mein Problem

Ich sitze jetzt schon viel zu viele Stunden an dieser Aufgabe und kriege sie einfach nicht gebacken. Gegeben ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ Vektorraum sowie die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi : V \to V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi = \varphi \end{eqnarray*}$ .

Man soll einmal alle linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ dieser Art beschreiben, die nur den Eigenwert 0 besitzen, und dann noch alle linearen Abbildungen, die nur die 1 als Eigenwert haben. Die Lösung kenne ich schon, nämlich einmal $\begin{eqnarray*} \varphi = 0 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \varphi = id \end{eqnarray*}$ . Wie man aber darauf kommen, und vor allem, das ganze beweisen soll (also, dass das wirklich die einzigen Abbildungen sind, für die das gilt), entzieht sich aber meines Verständnisses.

Meine Gedankengänge

Man sehe sich zum Beispiel mal diese Tipps hier an: math.stackexchange.com/a/3282874/616935.
Wie man auf die charakteristischen Polynome kommt, verstehe ich sofort. Zunächst habe ich ja versucht, aufgrund dieser charakteristischen Polynome (welche ja die Determinante von $\begin{eqnarray*} A - x I \end{eqnarray*}$ darstellen, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ) auf die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu schließen. Also man will ja für Eigenwert nur 0 dann zeigen, dass (vereinfachend im $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^2 \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben)
$\begin{eqnarray*} A - xI = \begin{pmatrix} -x & 0 \\ 0 & -x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , denn dann ist ja gerade die Determinaten $\begin{eqnarray*} (-x)^2 = (0-x)^2 \end{eqnarray*}$ und man kommt für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf die Nullmatrix. Nur wird zu zeigen, dass alle Werte außerhalb der Diagonale 0 sind, schnell extrem aufwändig. Gleiches gilt für das Zeigen von Eigenwert nur 1 bei charakteristischem Polynom $\begin{eqnarray*} (1-x)^n \end{eqnarray*}$ .

Die Tipps, welche die Person im Link gegeben hat, kann ich leider auch nicht so richtig nachvollziehen. Für Eigenwert nur 0 gibt er den Tipp, dass dies genau dann gelte, wenn $\begin{eqnarray*} \exists k : \varphi^k = 0 \end{eqnarray*}$ , was wiederum daraus folgen würde, dass das charakteristische Polynom ja $\begin{eqnarray*} p(x) = x^n \end{eqnarray*}$ sei. Klar, wenn das gelte, dann wäre sofort klar, dass nur die Nullabbildung in Frage kommt. Ich kann aber leider nicht nachvollziehen, wie die "Nilpotenz" aus dem Polynom folgen soll! Der zweite Tipp (für Eigenwert nur 1) ist für mich genau so ein Mysterium. Habt Ihr da eine Idee, wie man darauf kommen soll?

Gruß,
MatheNoob23

07.07.2019, 17:10

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Wegen $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi - \varphi =0 \end{eqnarray*}$ ist das Minimalpolynom ein Teiler von $\begin{eqnarray*} x(x-1) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt die Behauptung.

07.07.2019, 19:05

MatheNoob32

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Wir haben den Begriff "Minimalpolynom" nicht eingeführt. Ich stütze mich mal auf die Wikipediadefinition (de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom):

"Das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einer quadratischen $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} p(A) = 0 \end{eqnarray*}$ (die Nullmatrix) ist."

Was ich aus deiner Antwort herauslese

Aus $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi - \varphi = 0 \end{eqnarray*}$ folgere ich $\begin{eqnarray*} A^2 - A = 0 \Leftrightarrow A(A - I) = 0 \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ repräsentiert $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ). Das mit den Teilern ist offenbar im Allgemeinen eine Herangehensweise, um Polynome zu lösen. Klar, der Term ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, und die Teiler sind ja gerade die Faktoren.

Die Teiler von $\begin{eqnarray*} x(x-1) \end{eqnarray*}$ sind ja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(x-1) \end{eqnarray*}$ . Es gibt nur die drei. Also eins davon soll das Minimalpolynom sein. $\begin{eqnarray*} p(x) = x \end{eqnarray*}$ ist nur Minimalpolynom, wenn $\begin{eqnarray*} A = 0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} p(x) = x-1 \end{eqnarray*}$ ist nur Minimalpolynom, wenn $\begin{eqnarray*} A = I \end{eqnarray*}$ . Das sind jetzt die zwei Lösungen für das Polynom $\begin{eqnarray*} x(x-1) = x^2 - x = 0 \end{eqnarray*}$ . Aber moment: es gibt noch weitere Lösungen für das Polynom, zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Heißt es gibt hier mehr Lösungen als der Grad des Polynoms, und für solche Matrizen ist das Minimalpolynom dann $\begin{eqnarray*} p(x) = x(x-1) = x^2 - x \end{eqnarray*}$ ?

Also, wir wissen jetzt, welches Minimalpolynom zu welcher (für $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi = \varphi \end{eqnarray*}$ zulässigen) Matrix gehört und andersrum. Und Wikipedia sagt, die Nullstellen des Minimalpolynoms sind gerade die Nullstellen des charakeristischen Polynoms und sind gerade die Eigenwerte der Abbildung. Das ist super! Aber es hat einen Haken: Wir haben Minimalpolynome nicht eingeführt und dürfen diese daher nicht einfach so benutzen.

Wie beweise ich also, dass die Nullstellen des minimalen Polynoms automatisch auch die Nullstellen des charakeristischen Polynoms sind? Oder wie können wir für dieses (mehr oder weniger konkrete) Beispiel die Brücke zwischen dem Minimalpolynom und den Eigenwerten schlagen?

07.07.2019, 19:29

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (oder der darstellenden Matrix A) hat die Eigenschaft, Teiler jedes Polynoms q zu sein, für das q(A)=0 ist.

Zitat:

Das mit den Teilern ist offenbar im Allgemeinen eine Herangehensweise, um Polynome zu lösen.

Verstehe ich nicht. Was meinst du damit, ein Polynom zu lösen?

Zitat:

Klar, der Term ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, und die Teiler sind ja gerade die Faktoren.

Vorsicht: $\begin{eqnarray*} A(A-I) \end{eqnarray*}$ kann Null sein, auch wenn keiner der Faktoren Null ist. Deine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Beispiel dafür.

Zitat:

Die Teiler von $\begin{eqnarray*} x(x-1) \end{eqnarray*}$ sind ja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(x-1) \end{eqnarray*}$ . Es gibt nur die drei.

Einer davon ist also das Minimalpolynom und nur $\begin{eqnarray*} p(x) = x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p(x) = x-1 \end{eqnarray*}$ sind mit der gegebenen Eigenwertbedingung verträglich.

Zitat:

moment: es gibt noch weitere Lösungen für das Polynom, zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Heißt es gibt hier mehr Lösungen als der Grad des Polynoms, und für solche Matrizen ist das Minimalpolynom dann $\begin{eqnarray*} p(x) = x(x-1) = x^2 - x \end{eqnarray*}$ ?

Das verstehe ich nicht.

07.07.2019, 20:29

Mathenoob32

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben

Zitat:

Was meinst du damit, ein Polynom zu lösen?

In der Schule hat man damals immer die Nullstellen von Polynomen berechnen wollen, also das Polynom null gesetzt und die resultierende Gleichung gelöst. Den Begriff hatte ich immer noch als "Polynom lösen" im Hinterkopf.

Zitat:

nur $\begin{eqnarray*} p(x)=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ sind mit der gegebenen Eigenwertbedingung verträglich.

Diese Aussage kannst du doch aber nur treffen, wenn du bereits weißt, dass die Nullstellen des Minimalpolynoms gerade den Eigenwerten der Matrix entsprechen, oder? Genau diese Brücke fehlt mir. Von meinem Sichtpunkt aus weiß ich momentan nur, dass es diese Minimalpolynome als Definition gibt -- sie hat für mich noch keinen Nutzen. Eigenwerte habe ich nur in Verbindung mit den charakteristischen Polynomen kennengelernt, welche wiederum aus der Determinante $\begin{eqnarray*} \det(A - xI) \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Um jetzt also weiterzukommen, müsste ich irgendwie beweisen, dass die Nullstellen des Minimalpolynoms gerade den Nullstellen des charakeristischen Polynoms entsprechen, doch bei der Aufgabe fühle ich mich genauso verloren wie vorher.

Zitat:

Bezüglich mehr als 2 Lösungen beim Polynom und anderes Minimalpolynom
Das verstehe ich nicht.

Die Gleichung p(x) = x(x-1) = 0 hat zunächst die zwei Matrixlösungen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

In der Schule hat man gelernt, dass Polynome immer maximal so viele Lösungen wie ihr Grad haben. In der Hochschulmathematik gilt das offensichtlich nicht mehr, denn wir finden noch mindestens eine dritte Lösung,
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wir betrachten nochmal die Wikipediadefinition des Minimalpolynoms. Es ist das kleinstgradige normierte Polynom wo, wenn die Matrix eingesetzt wird, Null bei rauskommt. Folglich können aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ nicht das Minimalpolynom dieser letzten Matrix sein, da hier nicht Null rauskommt, wenn man sie einsetzt. Aber bei $\begin{eqnarray*} x(x-1) = x^2 - x \end{eqnarray*}$ kommt Null raus, wenn man die Matrix einsetzt, also muss das doch das Minimalpolynom dieser Matrix sein.

07.07.2019, 21:38

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Angenommen, man hat ein Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(A)=0 \end{eqnarray*}$ . Polynomdivision mit dem Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} p(x)=q(x)\mu(x)+r(x) \end{eqnarray*}$ mit Polynomen $\begin{eqnarray*} q,r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Grad(r)<Grad(\mu) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} 0=p(A)=q(A)\mu(A)+r(A)=r(A) \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ aber das Polynom kleinsten Grades mit $\begin{eqnarray*} \mu(A)=0 \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ sein. Also ist sogar $\begin{eqnarray*} p(x)=q(x)\mu(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. das Minimalpolynom ist Teiler des Polynoms $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Die Brücke von Nullstellen des Minimalpolynoms $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ zu Nullstellen des char. Polynoms $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ , also Eigenwerten: Obige Überlegung gilt insbesondere, wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom von A ist. Also ist $\begin{eqnarray*} \chi(x)=q(x)\mu(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. das Minimalpolynom ist Teiler des charakteristischen Polynoms.
Wenn nun $\begin{eqnarray*} \mu(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann auch $\begin{eqnarray*} \chi(x)=0 \end{eqnarray*}$

Die Zahl der Nullstellen eines Polynoms kann in der Tat größer als der Grad des Polynoms sein, Stichwort ist hier Nullteiler. Der Rest deiner Überlegungen ist auch vollkommen richtig Freude

08.07.2019, 17:56

MatheNoob32

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Deinen Ausführungen im ersten Absatz kann ich folgen. Anhand der Eigenschaften des Minimalpolynoms stellst du fest, dass das Minimalpolynom jedes andere Polynom, für das $\begin{eqnarray*} p(A) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, restlos teilt.

Aber wer sagt denn, dass $\begin{eqnarray*} \chi(x) \end{eqnarray*}$ , also das charakteristische Polynom, überhaupt für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ 0 ist, also $\begin{eqnarray*} \chi(A) = 0 \end{eqnarray*}$ ? Nur dann gilt doch deine Überlegung, dass $\begin{eqnarray*} \chi(x) = q(x)\mu(x) \end{eqnarray*}$ . Gut, die Frage kann ich mir durch Googeln beantworten: Der "Satz von Cayley-Hamilton" sagt genau das aus (laut Wikipedia-Seite zum charakeristischen Polynom). Leider auch wieder ein Satz, der bei uns nicht eingeführt wurde. Ein Beweis ist hier (de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Lineare_Algebra:_Endomorphismen:_Satz_von_Cayley-Hamilton) zu finden und ist höhere Mathematik, als wir sie in der Vorlesung verwenden. Hier hört es also für mich auf, falls es keinen einfacheren Beweis, der unseren Zwecken hier genügt, gibt.

Aber rein aus Interesse: klar, wir wissen mit deiner Gleichung $\begin{eqnarray*} \chi(x) = q(x) \mu(x) \end{eqnarray*}$ sofort, dass alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \mu(x) \end{eqnarray*}$ auch Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \chi(x) \end{eqnarray*}$ sind. Aber wieso nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} \chi(x) \end{eqnarray*}$ nicht noch weitere Nullstellen hat?

08.07.2019, 18:21

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Die ganze Sache gestaltet sich etwas sperrig, weil ich natürlich keinen Dunst habe, welche Sätze dir bekannt sind. Cayley-Hamilton kommt im Dunstkreis von Eigenwerten meist recht schnell, daher ging ich davon aus, er sei bekannt. Was steht dir denn überhaupt zur Verfügung.

Für die Argumentation hier ist es unerheblich, ob das charakteristische Polynom mehr Nullstellen hat als das Minimalpolynom. Wir haben die Fälle $\begin{eqnarray*} \mu(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ erfolgreich behandelt. Der einzige verblieben Fall ist $\begin{eqnarray*} \mu(x)=x(x-1) \end{eqnarray*}$ . Dann sind aber auf jeden Fall 0 und 1 Eigenwert von A und das widerspricht der Voraussetzung.

08.07.2019, 20:21

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RE: Alle linearen Abbildungen mit Eigenwerten nur 0 bzw nur 1 beschreiben
Also die erste Behauptung kann man auch ganz elementar zeigen: Aus $\begin{eqnarray*} \varphi^2=\varphi \end{eqnarray*}$ folgt zunächst $\begin{eqnarray*} \varphi^2(x)=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ , oder also $\begin{eqnarray*} \varphi(\varphi(x))=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ .
Gibt es also ein $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 1. Das widerspricht aber der Voraussetzung, dass 0 der einzige Eigenwert sein soll. Also muss doch $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gelten. Das heißt aber gerade $\begin{eqnarray*} \varphi=0 \end{eqnarray*}$

Edit: Die zweite Behauptung geht genauso elementar: Ist 1 der einzige Eigenwert, dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ injektiv, also sogar bijektiv (ich gehe jetzt davon aus, dass V endlichdimensional ist). Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} \varphi^2=\varphi \end{eqnarray*}$ aber sofort $\begin{eqnarray*} \varphi=id \end{eqnarray*}$ , indem man auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ anwendet.
Edit2: Injektivität reicht.

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