Supremumsnorm und Beschränktheit

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Rosalie26 Auf diesen Beitrag antworten »
Supremumsnorm und Beschränktheit
Das ist die Definition aus meinem Skript zur Beschränktheit von Funktionen:

Sei M eine nichtleere Menge. Eine Funktion f &#8712; Abb (M,R) heißt beschränkt, wenn die Menge der Funktionswerte beschränkt ist, d.h., wenn Supremumsnorm von f := sup {l f(x)l / x &#8712; M} < unendlich.

Dabei verstehe ich zwei Dinge nicht so ganz:

1) Bedeutet Beschränkheit nicht, dass eine Menge nach oben und nach unten beschränkt ist? Wieso reicht es hier zu zeigen, dass die Zielmenge eine obere Grenze besitzt, also ein Supremum besitzt, dass kleiner als unendlich ist. Müsste ich nicht auch zeigen, dass die Zielmenge ein Infimum besitzt? Oder zummindest eine untere Schranke?
Oder liege ich vielleicht mit der Annahme richtig, dass ich durch die Betragsstriche um f(x) dies bereits "mit zeige"?

2) Was genau ist eine Supremumsnorm für Dummies erklärt? verwirrt

Liebe Grüße
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm und Beschränktheit
Zitat:
Original von Rosalie26
1) Bedeutet Beschränkheit nicht, dass eine Menge nach oben und nach unten beschränkt ist? Wieso reicht es hier zu zeigen, dass die Zielmenge eine obere Grenze besitzt, also ein Supremum besitzt, dass kleiner als unendlich ist. Müsste ich nicht auch zeigen, dass die Zielmenge ein Infimum besitzt? Oder zummindest eine untere Schranke?

Wie man leicht sieht, ist die Menge mit der unteren Schranke Null automatisch nach unten beschränkt. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Rosalie26
2) Was genau ist eine Supremumsnorm für Dummies erklärt? verwirrt

Wenn du weißt, wie das Supremum einer Menge definiert ist, braucht man da nichts erklären. Vielleicht hapert es einfach am Verständnis, was das Supremum ist?
Rosalie26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm und Beschränktheit
Also was ein Supremum ist, habe ich eigentlich vertanden.
Es ist die kleinste obere Schranke s. Das heißt also, dass alle Elemente der Menge s sind. Es kann zwar durchaus mehrere obere Schranken S geben, diese sind dann jedoch alle größer als s. Somit kann höchstens ein Supremum einer Menge existieren. Dieses kann sich in oder außerhalb der Menge befinden, was den Unterschied zu einem Maximum macht.

richtig?

Doch leider verwirrt mich irgendwie die Supremumsnorm dennoch... vielleicht liegt das an der Schreibweise... keine Ahnung, aber immer wenn der Begriff irgendwo auftaucht, bekomme ich direkt Panik geschockt ...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremumsnorm und Beschränktheit
Zitat:
Original von Rosalie26
richtig?

Ja.

Zitat:
Original von Rosalie26
Doch leider verwirrt mich irgendwie die Supremumsnorm dennoch... vielleicht liegt das an der Schreibweise... keine Ahnung

Die Schreibweise besagt ja nur, daß man für das Supremum der Funktion das Supremum der Menge der Beträge der Funktionswerte nimmt. Jetzt kommt nur noch hinzu, daß das eine Norm ist, daß also noch gewisse Bedingungen zusätzlich erfüllt sind. smile
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