Limes einer Funktion mit mehreren Variablen bestimmen

08.07.2019, 15:12	littlemariecurie	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes einer Funktion mit mehreren Variablen bestimmen Meine Frage: Hallo, Ich soll bei zwei Funktionen, die jeweils zwei Variable besitzen, überprüfen, o diese stetig sind. Das mache ich ja normalerweise indem ich den Limes der Funktion ausrechne. Aber wie mache ich das, wenn die Funktionen zwei Variablen haben? Hier die Funktionen: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \to 0}, \lim_{y \to 0} \frac{x^2 - y^3}{xy} <br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}, \lim_{y \to 0} x \frac{2x^4 + 6x^2y^3}{(x^2 + y^2)^2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe irgendwo schon den Ansatz gesehen, dass man einfach x = y setzten soll, aber meine Tutorin hat mir schon gesagt, dass ich das nicht machen darf. Stattdessen soll ich Funktionen finden, die immer kleiner gleich sind, als meine Funktionen. Außerdem soll ich noch unterscheiden zwischen den Fällen, wenn ich entweder x oder y als konstant betrachte und so den Limes ausrechne. Aber irgendwie kann ich mit diesen Ansätzen nicht viel anfangen. LaTeX-End-Tag korrigiert (/latex statt \latex). Steffen
08.07.2019, 19:13	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eine Möglichkeit besteht folgendes zu machen: Ich gehe davon aus, dass beide Funktionen im Punkt (0,0) als 0 definiert sind. Man sucht sich Nullfolgen. Ich habe diese genommen. $\begin{eqnarray} (x_{n}; y_{n})= (\frac{1}{n}; \frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ . Lässt man für beide Nullfolgen den limes laufen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (x_{n}; y_{n}) =(0;0) \end{eqnarray}$ und setzt diese dann in die Funktionen ein, erhält man dann die Unstetigkeit im Nullpunkt. Erhält man ein von Null verschiedenes Ergebnis, so ist die Funktion unstetig.
09.07.2019, 12:11	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für mich sind noch Fragen offen: Die erste Funktion ist ja weder für x=0 noch für y=0 definiert. In diesen Punkten müsste ein Funktionswert vorgegeben werden, bevor man auf Stetigkeit untersuchen kann. Oder soll für alle diese Punkte zunächst die Existenz eines Funktionsgrenzwerts überprüft werden? Bei der zweiten sehen ich vor dem Bruch ein x. Ist das richtig? Gruß pwm

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