Newton-Verfahren mit mehreren Veränderlichen

08.07.2019, 15:27

Timon123

Newton-Verfahren mit mehreren Veränderlichen

Meine Frage:
Folgende Aufgabe:
Das nichtlineare Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} e^{-x}-e^{-y}-0,5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xe^{-x}-ye^{-y} =0 \end{eqnarray*}$
hat genau eine Lösung (x,y) . Bestimmen Sie diese näherungsweise mit dem Newton-Verfahren (mindestens 6 Nachkommastellen).

Meine Ideen:
Ich habe das Newton Verfahren aufgestellt und bilde mir ein :-D dass ich alles richtig gemacht habe. (Mein aufgestelltes Newton Verfahren ist in den Bildern mit Zwischenschritten zu sehen). Aus der Matrix habe ich noch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-y)} \end{eqnarray*}$
herausgezogen, sodass man nicht so viel rumtippen muss.
Nun versuche ich seit Tagen eine Lösung zu finden, habe es auch schon in Octave programmiert und es lässt sich einfach nicht lösen.
Wahrscheinlich stehe ich irgendwo ziemlich auf dem Schlauch, ich hoffe dass mir jemand helfen kann. Vielleicht muss ich nur etwas umformen oder habe doch irgendwo im Newton-Verfahren etwas falsch gemacht.

Grüße & Vielen Dank schon mal für jegliche Hilfe!

08.07.2019, 16:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Timon123
Nun versuche ich seit Tagen eine Lösung zu finden, habe es auch schon in Octave programmiert und es lässt sich einfach nicht lösen.

Die Newton-Iteration in dem Scan sieht soweit Ok aus (sofern du mit den dreierlei Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} x^{(i)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} xi \end{eqnarray*}$ jeweils dasselbe meinst, dito bei den $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mitsamt Indizes).

Mit welchem Anfangsvektor $\begin{eqnarray*} \left(x^{(0)},y^{(0)}\right) \end{eqnarray*}$ bist du denn da reingegangen?
Hab es mal mit $\begin{eqnarray*} \left(x^{(0)},y^{(0)}\right)=(0,2) \end{eqnarray*}$ probiert, das funktioniert.

08.07.2019, 16:23

Timon12

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Hi,
Danke schonmal für die Antwort. Da habe ich mich nicht so präzise ausgedrückt.
Ja funktionieren tut es schon, aber es konvergiert nicht.
Ich erhalte kein plausibles Ergebnis nach mehr als 10 iterationen, es springt immer hin und her oder geht ganz schnell gegen Unendlich.

Ich habe es mit allem möglichen versucht. Aber initial mit x=1 und y=0...
Erhälst du für 0 und 2 ein Ergebnis das konvergiert?

Grüße!

08.07.2019, 16:29

HAL 9000

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Ok, dann nochmal, da du das "funktioniert" so total missverstanden hast:

Hab es mal mit $\begin{eqnarray*} \left(x^{(0)},y^{(0)}\right) = (0,2) \end{eqnarray*}$ probiert, das konvergiert.

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