Funktion divergiert, wenn Ableitung größer als Konstante

08.07.2019, 16:14

KoenigVonAugsburg

Funktion divergiert, wenn Ableitung größer als Konstante

Hallo,

folgende Aufgabe:

Beweisen Sie: Wenn $\begin{align*} f : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} \end{align*}$ differenzierbar ist und
$\begin{align*} \exists c>0 : \exists d>0 : \forall x \geq d : f^{\prime}(x)>c \end{align*}$ ,
dann ist $\begin{align*} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \end{align*}$ .

Mein Versuch:
Da f auf R+ diffbar für, also auch stetig ist, dann existiert laut dem MWS so ein $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ so dass man schreiben kann:

$\begin{align*} c < \frac{f(x) - f(d)}{x - d} = f'(x_0) \end{align*}$

aus der Definition folgt, dass f(x) streng monoton steigt, also gilt der MWS für alle $\begin{align*} x_0 \geq d \end{align*}$ :

$\begin{align*} c \cdot (x - d) < f(x) - f(d) \Leftrightarrow c \cdot (x-d) + f(d) < f(x) \end{align*}$

Also folgt daraus:

$\begin{align*} c \cdot x -c \cdot d + f(d) < f(x) \end{align*}$

und mit $\begin{align*} \lim_{x \to \infty} (c \cdot x -c \cdot d + f(d)) = \infty \end{align*}$ folgt $\begin{align*} \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \end{align*}$

Was kann man hier besser machen. Passt der Ansatz?

Hammer

08.07.2019, 17:43

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RE: Funktion divergiert, wenn Ableitung größer als Konstante
Der Ansatz passt Freude

Der Satz

Zitat:

aus der Definition folgt, dass f(x) streng monoton steigt, also gilt der MWS für alle $\begin{align*} x_0 \geq d \end{align*}$

ist nicht falsch, aber nutzlos. Weder braucht man die Monotonie von f noch hängt die Gültigkeit des MWS davon ab. Was man allerdings für den nächsten Schritt braucht ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} x>d \end{eqnarray*}$ (warum ?).

Alternativ benutzt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $\begin{eqnarray*} f(x)-f(d)=\int_d^x f'(t)dt > c(x-d) \end{eqnarray*}$ um zur gleichen Abschätzung zu kommen.

08.07.2019, 18:43

KoenigVonAugsburg

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RE: Funktion divergiert, wenn Ableitung größer als Konstante

Zitat:

Original von URL
Was man allerdings für den nächsten Schritt braucht ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} x>d \end{eqnarray*}$ (warum ?)

Weil wegen der Definition sonst nicht sichergestellt ist, dass die Funktion größer als c ist? Mehr fällt mir da leider nicht ein...

08.07.2019, 19:07

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RE: Funktion divergiert, wenn Ableitung größer als Konstante
Nein. Du multiplizierst im nachsten Schritt deine Ungleichung mit x-d. Nur bei positivem x-d bleibt dabei das Ungleichheitszeichen erhalten.

08.07.2019, 19:57

KoenigVonAugsburg

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ok, verstehe, sonst würde ja 0 = 0 dranstehen. Aber in der Definition wird sogar $\begin{align*} x = d \end{align*}$ erlaubt. Was mache ich mit diesem Fall?

Ich würde sogar sagen nichts, da ich ein d so wählen kann, dass gilt: $\begin{align*} d \leq x \end{align*}$ mit $\begin{align*} d := min\{x| x > d'\} \end{align*}$ . Beweise ich jetzt den Fall $\begin{align*} x > d' \end{align*}$ , beweise ich gleichzeitig den Fall $\begin{align*} x \geq d \end{align*}$ oder?

08.07.2019, 20:31

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Nein, da würde sicher nicht 0=0 stehen. Du hast die Ungleichung $\begin{eqnarray*} c<\frac{f(x)-f(d)}{x-d} \end{eqnarray*}$ (die überhaupt nur für $\begin{eqnarray*} x\neq d \end{eqnarray*}$ sinnvoll ist) und multiplizierst einfach mit $\begin{eqnarray*} x-d \end{eqnarray*}$ und schreibst hemdsärmlig $\begin{eqnarray*} c(x-d)<f(x)-f(d) \end{eqnarray*}$ . Das stimmt aber nur, falls $\begin{eqnarray*} x-d>0 \end{eqnarray*}$ ist. Für $\begin{eqnarray*} x-d<0 \end{eqnarray*}$ bekommst du nämlich $\begin{eqnarray*} c(x-d)>f(x)-f(d) \end{eqnarray*}$ .
Du kannst d nicht wählen. Es ist vorausgesetzt, dass es ein d mit gewissen Eigenschaften gibt. Es kann sein, dass es genau ein solches d gibt, vielleicht gibts auch mehrere. Das hast du jedenfalls nicht in der Hand. Betrachte es als eine Konstante, von der du nur weißt, dass es sie gibt. Aber du kannst dann problemlos x>d betrachten, daran hindert dich niemand. Das ist hier auch noch sinnvoll, weil es ja um den Grenzwert von f(x) für $\begin{eqnarray*} x\to \infty \end{eqnarray*}$ geht

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