Frage zu abgeschlossenen und kompakten Teilmengen

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vogs Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu abgeschlossenen und kompakten Teilmengen
Hallo,

Ich kannte bis jetzt v.a. die Definition einer kompakten Menge die besagte, dass eine Menge kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Nun ich in meinen Unterlagen nur folgende Definition:

Eine Menge reeller Zahlen ist kompakt, wenn jede unendliche Folge von Zahlen aus dieser Menge eine unendliche konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert aus der Menge enthält.

Mir fehlt jetzt das Verständnis, wie ich von der 2. Definition auf die 1. schließen kann. Sie sollten ja äquivalent sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte dazu gesagt werden, dass diese beiden Definitionen z.B. für die reellen Zahlen gelten, wobei die Konvergenz bezüglich des Absolutbetrags gegeben ist.

Beh: folgenkompakt, dann beschränkt.
zu zeigen: nicht beschränkt, dann nicht folgenkompakt.
Beweis: die Folge (n) hat keine konvergente Teilfolge.

Beh: folgenkompakt, dann abgeschlossen.
zu zeigen: nicht abgeschlossen, dann nicht folgenkompakt.
Beweis: die Folge (1/n) hat keine konvergente Teilfolge im offenen Intervall (0,1).
 
 
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber wo befindet sich in der 2. Von mir angegebenen Definition die Forderung der Beschränktheit?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin sicher, dass die Folge der natürlichen Zahlen in den reellen Zahlen nicht beschränkt ist. Deshalb heißt der Absolutbetrag archimedisch, weil jede obere Schranke S durch eine natürliche Zahl n übertroffen wird. In einer beschränkten Teilmenge der reellen Zahlen ist die Folge (n) nicht enthalten.
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist eine abgeschlossene Menge der reellen Zahlen nicht kompakt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel: ist offen und abgeschlossen, aber nicht beschränkt, also nicht kompakt.
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