Ober und Untersumme

10.07.2019, 16:13	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ober und Untersumme Hallo liebes Matheboard, Ich sitze gerade an folgender Aufgabe und weis nicht wirklich weiter, Ich habe folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f: \left[0,1\right] \Rightarrow \mathbb R , f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ mit der äquidistanten Zerlegung $\begin{eqnarray} Z^m = \left\{0,\frac{1}{m} ,\frac{2}{m} ,...,\frac{m-1}{m} ,1\right\} \end{eqnarray}$ des Intervalls [0,1], Hierfür soll ich für $\begin{eqnarray} Z^m \end{eqnarray}$ die Unter - und Obersumme und damit $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! x^2 \, dx \end{eqnarray}$ Außerdem darf ohne Beweis: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{m} j^2 = \frac{1}{6} m * (m+1) * (2m +1) \end{eqnarray}$ verwendet werden. Also ich weis das aus der obrigen Formel : $\begin{eqnarray} U_m \leq A \leq O_m \end{eqnarray*}$ folgt Ich verstehe gerade nur nicht so richtig wie ich auf die Formeln für die Unter und Obersumme komme. falls jemand Hinweise hätte wäre ich sehr Dankbar.
10.07.2019, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze für m=3, für alle anderen m geht das genauso.
10.07.2019, 18:09	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine Antwort, Also ich verstehe die Aussage und den Sinn der Skizze aber mir ist leider noch nicht wirklich klar wie ich hiermit dann auf meinen Unter bzw Oberraum komme. Wäre dann $\begin{eqnarray} U_m \leq A\leq O_m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}(m-1)(m-1+1)(2(m-1)+1 \leq A\leq \frac{1}{6}m(m+1)(2m+1) \end{eqnarray*}$ oder bin ich da auf dem ganz falschen Weg?
10.07.2019, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe an der Skizze sofort $\begin{eqnarray} U_m=\frac 1 m\sum_{j=1}^{m-1}(\frac j m)^2, O_m=\frac 1 m\sum_{j=1}^{m}(\frac j m)^2 \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ aus dem Nenner der Summe nach vorne ziehen bleiben Summen über $\begin{eqnarray} j^2 \end{eqnarray}$ stehen. Wegen Riemann-Integrierbarkeit ist klar, dass der Grenzwert von Unter- und Obersumme für $\begin{eqnarray} m\to \infty \end{eqnarray}$ gleich und gleich dem Integral sind.

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