Modellierung von Wasserfontäne mit Parabel |
| 11.07.2019, 15:46 | Kalkan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Modellierung von Wasserfontäne mit Parabel
Ich sitze seit heute Morgen an folgender Aufgabe und bin mittlerweile wirklich am verzweifeln. Freue mich sehr über Hilfe. Die Aufgabe sollte eigentlich mit Wissen aus Klasse 8/9 Schulmathematik zu lösen sein. Gegeben sei ein Brunnen mit 50 cm Radius, in dessen Mitte sich einige Fontänen auf Höhe der Wasseroberfläche befinden. Jede Fontäne spritzt 32 cm hoch und ihr Strahl trifft nach 16 cm wieder auf die Wasseroberfläche. a) Bestimme eine Funktionsgleichung, die die Form einer solchen Wasserfontäne möglichst gut beschreibt. b) Der Druck des Wassers kann etwa durch Zuhalten der anderen Fontänenlöcher vergrößert werden. Bestimme, wie hoch eine Fontäne maximal sein darf, damit ihr Wasser nicht außerhalb des Brunnens landet. Zu a) Sinnvoll scheint die Modellierung mit einer Parabel. Legen wir dazu den Ursprung des Koordinatensystems in die Brunnenmitte (also den Abspritzpunkt), so ergibt sich mit der Scheitelpunktform wegen Scheitel und anschließend mit dem Punkt (0/0) die Funktion . Alternativ, aber etwas umständlicher, ist diese Funktion auch mit 3 Punkten und der allgemeinen Form bestimmbar, als LGS. Zu b) Habe ich jetzt wirklich ganz lange versucht, komme leider auf keine Lösung. Mein Problem ist, dass der Abspritzwinkel ja der gleiche bleiben soll, das heißt im Grunde brauche ich eine Funktionenschar. Passt aber nicht wirklich zu Klasse 9. Meine Frage ist eigentlich auch, warum ver-x-facht sich die Höhe der Parabel, wenn sich die Spritzweite ver-x-facht. Bitte euch freundlich um Hilfe. Lieber Gruß Kalkan |
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| 11.07.2019, 17:40 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Modellierung von Wasserfontäne mit Parabel Willkommen im Matheboard! Hm, mit Werkzeug des neunten Schuljahrs ist das wirklich knackig. Eventuell wird erwartet, dass man die Tangentensteigung im Nullpunkt bestimmen kann, auch ohne Ableitung. Hier wird sowas vorgeführt. Wenn Du nämlich die Gleichung doch in die Form ax²+bx+c bringst, zeigt sich so, dass die Steigung im Nullpunkt nichts anderes ist als b. Damit hast Du diesen Koeffizienten und musst nur noch das neue a berechnen, denn c ist natürlich Null. Die Steigung bestimmt nämlich den Abspritzwinkel, und wenn der gleich bleiben soll, muss auch die Steigung gleich bleiben. Da ich aber kein Lehrer bin, kann ich nicht beurteilen, ob die Arndt-Brünner-Methode fürs neunte Schuljahr vielleicht doch etwas zu hoch ist. Viele Grüße Steffen PS: den linearen Zusammenhang zwischen Höhe und Weite kann man dann über die Gleichung herleiten. |
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| 11.07.2019, 18:34 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jedenfalls müsste die Steigung in (0|0) den Wert 8 haben oder den Winkel von 82.875° Mit etwas Rechnung kommt man auf die Relation und ohne Steigung seh' ich keinen Fortschritt. |
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| 11.07.2019, 21:18 | Kalkan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zunächst mal vielen Dank an euch beide
Ich schau mir das Ganze heute und morgen noch einmal an und melde mich wieder. Irgendwie sollte sich das doch auf vernünftigem Wege lösen lassen. 
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| 11.07.2019, 22:19 | Kalkan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm also irgendwie komme ich selber ohne Differentialrechnung auch nicht weiter. Aber die haben sie in der 8. Klassen definitiv noch nicht. Die Arndt-Brunner-Methode scheidet für die Mittelstufe leider auch aus...Ist es nicht logisch, dass sich die Höhe einer Parabel bei gleichbleibendem Abspritzwinkel/Steigung im Ursprung immer genau proportional (sogar mit Faktor 1) zur ihrer "Weite" (dem Abstand der Nullstellen) verhält? Denn es gilt: Spritzt die Fontäne über eine Distanz von 16 cm, so ist der Scheitelpunkt S(8/32), spritzt sie über die doppelte Distanz von 32 cm, so ist der Scheitelpunkt S(16/64), spritzt sie über die s-fache Distanz von 16*s cm, so ist der Scheitelpunkt S(8*s/32*s). Die Frage ist, ob das für Schüler der Klasse 8 leicht einsichtig/begründbar ist. Sollte doch eigentlich schon eine einfache Begründung haben, zumindest ist der Zusammenhang doch so verlockend einfach. Alternativ stellt sich mir die Frage, welche zusätzliche Annahme man geben könnte, damit die Aufgabe leichter lösbar wird. Klar könnte ich sagen, wenn ihr verwendet, dann bleibt bei Aufgabe b) der Parameter b identisch, da er die Steigung im Nullpunkt angibt. Aber wenn jemand mit der Scheitelpunktform gerechnet hat, kann er mit der Info wenig anfangen (bzw. müsste es halt erst umrechnen). Gibt es wirklich keine leichtere Lösungsmöglichkeit? Das ist doch unglaublich
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| 12.07.2019, 08:42 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, ich kenne den Lehrplan nicht, aber es geht doch nur um Bestimmung einer Tangente an einen beliebigen Parabelpunkt. Letztlich läuft das auf Nullsetzen der Diskriminante in der pq-Formel hinaus. Das sollte doch bekannt sein. Eventuell handelt es sich hier ja um eine sogenannte "Transferaufgabe"...
Der Faktor ist 2: die Höhe ist hier immer doppelt so groß wie die Weite. Mit "Logik" kommen wir hier leider nicht weiter. 
Gerade beim schiefen Wurf haben die Wissenschaftler lange Zeit abenteuerliche Ideen gehabt (z.B. die "Impetustheorie"), weil die ihnen halt auch "logisch" vorkamen. Auch dass ein schwerer Körper schneller fällt als ein leichter, erscheint uns zunächst "logisch". Oder dass die Sonne um die Erde kreist. Oder dass das Verhältnis von Diagonale zur Kante eines Quadrates ein Bruch ist. Oder dass es mal einen ersten Menschen gegeben haben muss. Und so weiter.Und gerade der gleichbleibende Abspritzwinkel führt dazu, dass man sowas nur zeigen kann, wenn die Steigung im Nullpunkt allgemein bestimmt wird. Ich fürchte, ohne Herrn Brünner kommen wir hier nicht aus. |
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| 12.07.2019, 13:24 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich glaube, das ist der Schlüssel zur Lösung. Unter der Bedingung, dass der Winkel im Ursprung bei beiden Parabeln gleich und unabhängig von deren Größe konstant bleiben soll, besitzen beide aus Symmetriegründen natürlich auch an der zweiten Nullstelle den gleichen, konstanten Winkel. Dopaps Grafik lässt erkennen, dass die beiden Parabeln einander "ähnlich" sind. D. h. um die kleine Parabel auf die große abzubilden, muß man die kleine in x- und y-Richtung gleichmäßig (ohne Streckung/Stauchung) aufblasen.
Gerade das wird für Schüler der 8. Klasse einsichtig sein. Proportionalität und zentrische Streckung dürften in diesem Jahrgang bekannte Begriffe sein (um welchen Schultyp handelt es sich eigentlich?). Da Achtklässler keine Differentialrechnung kennen, lassen sie sich durch diese von Fortgeschrittenen reflexartig gezogene Methode auch noch nicht den Blick trüben. |
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| 12.07.2019, 17:17 | Kalkan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die weiteren Beiträge. Ich denke, dass die "Ähnlichkeit" der Parabeln ein vernünftiger Ansatz für die 8. Klasse sein sollte (Gymnasium), ist wohl auch am anschaulichsten. Was ich mich dabei aber noch frage ist, ob die Ähnlichkeit von Parabeln mathematisch sauber definiert ist - ich kenne Ähnlichkeit vor allem im Zusammenhang mit Dreiecken bzw. allgemein von Figuren. Eine Parabel ist ja aber eine Funktion. Auch die Argumentation mit "die Parabeln stimmen in 2 Winkeln überein, sind also ähnlich" ist ja streng genommen vom Dreieck übernommen, oder? Lieber Gruß Kalkan |
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| 12.07.2019, 17:52 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Definition nach kann man die beiden Parabelbögen (notfalls inclusive Verbindungsstrecke zwischen den Nullstellen) wohl durchaus als Figuren betrachten. Vorsichtshalber habe ich trotzdem mal Gänsebeine gesetzt. |
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| 12.07.2019, 18:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Parabeln sind ja nicht per se ähnlich. Hier liegt aber ein Spezialfall vor. Dynamisch liegen hier ähnliche Wurfparabelteile von Fontänen oder Steinschleudern bei gleichem Abschusswinkel vor Wurfhöhe und Wurfweite sind beide proportional zum Quadrat der Abwurfgeschwindigkeit und deshalb untereinander proportional. Regeln aus der Geometrie sind hier kaum anwendbar, denn die Festlegung wo Winkel übereinstimmen sollen, fehlt hier. nicht ähnlich bei Maßstab 1:3 |
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