LGS lösen, 3 Variablen, 2 Parameter

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Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »
LGS lösen, 3 Variablen, 2 Parameter
Grüße,

ich bin in einer Übungsklausur über folgende Aufgabe gestolpert, vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben wie man da vorgeht. Ich bin etwas ratlos.



falls a =2 und falls a 2.

Wie geht man hier vor? Ich stehe völlig auf dem Schlauch. Da mich so eine Aufgabe ggf. in der Klausur trifft, würde ich gerne verstehen wie man das b behandelt.

Tausend Dank im Vorraus!

Timo
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Koeffizientenmatrix dürfen keine Variablen x,y,z stehen; schreibe 0 an die Leerstellen. Versuche nicht, Gleichungssysteme im Kopf zu lösen, sondern benutze den Gauß-Algorithmus und gehe schrittweise vor. Subtrahiere die 3. von der 2. Zeile, dann wird das LGS schon übersichtlicher, und man erkennt, warum die Fallunterscheidung für a sinnvoll ist. Dann machst du mit 2 Gleichungssystemen weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es stellt sich auch die Frage, ob das in den Schulbereich gehört. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Timo1995 ist 24 Jahre alt und studiert Mathematik. smile
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Es stellt sich auch die Frage, ob das in den Schulbereich gehört. verwirrt


Berechtigte Frage, vermutlich eher nicht. Hochschulbereich passt sicherlich besser, sorry.

@Elvis, schon mal danke! Mathe stimmt übrigens nicht ganz, ingenieurwissenschaften sinds. Daher ist das hier mit den Matrizen auch nicht gerade mein Steckenpferd. Hammer
Gehört aber leider zum Grundstudium dazu Lehrer



II - III



wäre das korrekt?
z = -2b ?

Und nun?
Mir fehlt ehrlich gesagt schon das Verständnis worauf es hier hinauslaufen soll.
Ein 'normales' LGS ist ja nicht der Hit, aber die Parameter bringen mich völlig aus dem Konzept.
Ich kriege auf die Art und Weise doch keine 'normalen' Ergebnisse verwirrt
Und was meinst du mit 2 Gleichungssystemen? Welches ist das 1., welches das zweite.
Oh man, das wird nen hartes Stück arbeit Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timo1995



II - III




kannst du 2 Zeilen subtrahieren?

und schreibe bitte: falls du von Zeile 2 Zeile 3 subtrahierst.

wenn a=2 gilt erhält man

korrigiert siehe unten

so schreibt eine erweiterte Matrix.
Welche Schlüsse kann man jetzt ziehen ?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Timo1995

Freue dich, dass du ein paar Grundlagen der Mathematik lernen darfst, sonst hättest du als Ingenieur keine Daseinsberechtigung. Du musst unbedingt den Gauß-Algorithmus verstehen und anwenden können, denn der löst jedes lineare Gleichungssystem. Wer diesen Algorithmus nicht beherrscht, muss sich um lineare Gleichungssysteme keine Gedanken machen, denn jeder andere Versuch ist sinnlos.

Hättest du die 3. von der 2. Zeile subtrahiert, wärest du zu der Matrix gekommen.

Im Fall a=2 kann man die erste zur 2. Zeile addieren und erhält

Im Fall a ungleich 2 geht es anders weiter.



@Dopap
Du hast in der 2. Zeile die 2. und 3. Spalte vertauscht.
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die Anmerkungen.

Ehrlich gesagt habe ich mit Gauß und LGS keine Probleme. Ich habe diverse Übungsaufgaben hier, die ich ohne Probleme lösen konnte. Besonders schwierig ist das ja auch nicht.

Mich hat das mit den zwei Parametern einfach aus dem Konzept gebracht.

edit: Zur Frage was man aus der Nullzeile (erweiterte Koeffizietenmatrix) ableiten kann: unendlich viele Lösungen für a=2.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nur das, man kann an dieser Matrix die gesamte Lösungsmenge ablesen. Das ist ein Teil des Algorithmus.

Fall 1
Fall 1.1
Fall 1.2
Das ist der Sinn und Zweck des Gauß-Algorithmus.

Den einfachen Fall 2 darfst du nun zu Ende führen.
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
gekommen.

Im Fall a=2 kann man die erste zur 2. Zeile addieren und erhält


Grüße,

schon mal recht herzlichen Dank. Gott
Mir fällt es anfangs immer leichter eine vorhandene Lösung aufzuschlüsseln um zu prüfen wie man vorgeht. Ich habe deine Ergebnisse also eben nachgerechnet und mir ist nicht klar wie du im Fall 1.2 auf z = t kommst. 3z = t bzw. z = t/3 wäre mir ja noch eingängig, aber woher nimmst du 3z=3t um daraus z=t zu machen ?
Alle weiteren Ergebnisse ( sofern das mit z = t stimmt) sind dann wieder glasklar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind nur 2 Gleichungen gegeben, weil eine Zeile 0 ist. Also kann ich eine Variable z frei wählen. Es ist dabei völlig egal, was in der 3. Spalte der Matrix steht. Übrigens könnte man anstatt z entweder x oder y ebenso gut frei wählen. Es ist aber üblich, nach erreichen der Zeilenstufenform von rechts her so viele Variable zu wählen, wie Nullzeilen vorhanden sind. Das macht das Aufstellen der übrigen Gleichungen in diesen freien Variablen leichter. Vielleicht ist dir ja auch aufgefallen, dass ich im Fall 1.2 ganz nebenbei die freie Variable z=t durch z=-t ersetzt habe, damit im letzten Vektor der Lösungsmenge nur ein statt 2 Minuszeichen stehen. Das ist reine Ästhetik und ändert nichts an der Lösungsmenge.
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, gut zu wissen. Schöner Kniff.
Du warst Lehrer oder hast dich andersweitig beruflich damit beschäftigt oder woher kommt dein Wissen? Oder einfach tief verinnerlicht? Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe in den 1970er Jahren Mathematik studiert (Spezialgebiet Zahlentheorie), war beruflich als Mathematiker tätig (Informatik und Operations Research) und habe nie aufgehört, Mathematik zu studieren (Logik, Algebra, Astrophysik, ...). Wenn man 50 Jahre lang nie ohne Mathematikbücher unterwegs ist, vergisst man nicht viel und lernt immer mehr dazu.
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

Mega gut. Freude

Ich melde mich dann noch mal, komme vor heute Abend nicht dazu mir den 2. Fall in Ruhe anzugucken.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

...und ich kann dir versichern,
die Beschreibung bei seinem Avatar bezieht sich
definitiv nicht auf seine Gesangsqualitäten ... Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fall ist auch nicht ganz trivial, also eine gute Übung. Beachte, dass man jedes mal eine Fallunterscheidung machen muss, bevor man eine Zeile der Matrix durch "was auch immer" dividiert. Das gibt dann die beiden Fälle x.1 "was auch immer" und x.2 "was auch immer".
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

edit1: Elvis, ich habe deine letzte Nachricht jetzt erst gesehen. Dann habe ich wohl wirklich Quatsch gemacht, damn.
edit2: aus irgendeinem Grund wird mein LaTex nicht richtig angezeigt öÔ


Nabend,

ich schreibe schon seit über einer Stunde an diesem einen Post rum. Ich weiß bisher nur, dass ich nicht viel weiß.

Wenn ich und setzen, erhalte ich



Aber was sagt mir das? Unlösbar ?

Bei und



würde ich 2. und 3. Zeile tauschen



und dann L3 = L1*(-2) - L3 * a

ergäbe

















Ich hoffe, dass ich mich jetzt nicht völlig zum Klops gemacht habe. Hammer



Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

Du hast dir viel Mühe mit LaTeX gegeben, aber dann vergessen, die Tags zu setzen!
Markiere jeweils den Term und klicke dann auf f(x), damit wird der Term automatisch in LaTeX-Tags gesetzt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für a ungleich 2 und b=0 möchtest du sicher die letzte Zeile durch a+1 dividieren, weil damit die Matrix einfacher wird. Beachte meinen Hinweis, was man machen muss, wenn man dividieren möchte.

Für ergibt sich nach deiner Methode , und wegen kann man die 3. Zeile durch dividieren. Daraus berechnet man sofort . Beim Ablesen der Lösungsmenge hast du viele Fehler gemacht, das musst du noch üben.

Nachdem ich alle Fälle aufgestellt und die Lösungsmengen berechnet habe, habe ich spaßeshalber die Determinante berechnet. Daran erkennt man, wann das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist und wann nicht. Wenn das die eigentliche Frage war, dann ist diese Aufgabe nach einer Minute erledigt. Wenn die Lösungsmengen in allen Fällen berechnet werden sollen, dann darf das nicht mehr als 10 Minuten dauern, sonst verliert man zu viel Zeit. Wie schafft man das in 10 Minuten ? Üben, üben, üben,...
Timo1995 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

ich hatte zuletzt Urlaub und konnte daher nicht mehr antworten.

Mit etwas Abstand bin ich die Aufgabe nun noch mal durchgegangen, dabei ist mir auch aufgefallen, dass eine meiner Berechnungen nicht richtig war, was du ja bereits korrigiert hast. (3. Spalte der Matrix).

a-2z=0 und nicht a-2z=a

Damit kriege ich dann auch den Bogen zu deinem Ergebnis und die Lösungsmenge lässt sich äußerst angenehm einfach ablesen.

Ich möchte mich noch mal herzlich bedanken!
Da waren viele Kniffe dabei, die mir so gar nicht eingefallen wären, die einem die Arbeit aber deutlich vereinfacht haben!

Ich habe mir mittlerweile weitere Übungsaufgaben rausgesucht und werden mich jetzt, wie du schon sagtest, daran machen und das ganze solange üben, bis es sitzt um in der Klausur später keine Zeit zu verschenken.

Danke noch mal!
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