Probability generating functions

12.07.2019, 07:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Probability generating functions Ich möchte für ein Spiel die Augenzahlen "1" ,"2" , ... , "12" mit gleicher Wahrscheinlichkeit würfeln. Dazu bräuchte ich nur einen beschrifteten Dodekaeder, genauer Pentagondodekaeder. In meiner Spielekiste finden sich aber nur normale - und unbeschriftete farbige Würfel. Die Idee: den farbigen Flächen natürliche Zahlen zuordnen oder direkt derart beschriften, dass die Augensumme beider Würfel die Zahlen 1 bis 12 ergeben und zudem gleichwahrscheinlich sind. nach reichlich Wirrungen und Überlegungen ergaben sich die Ziffern 0,0,0,6,6,6 für den farbigen Würfel. Es gilt dann $\begin{eqnarray} P(S=i)=\tfrac {1}{12}, i\in \{1,2,\cdots ,12\} \end{eqnarray}$ Kann man das auch etwas direkter mit probability generating functions angehen ?
16.07.2019, 12:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab' das jetzt so verstanden, die erzeugenden Funktionen sind Würfel: $\begin{eqnarray} w(x)=\frac 16 \sum\limits_{k=1}^{6} x^k \end{eqnarray}$ , und als gewünschte erzeugende Funktion der Doppelwürfel: $\begin{eqnarray} g(x)=\frac {1}{12} \sum\limits_{k=1}^{12}x^k \end{eqnarray}$ , sowie der farbige Würfel: $\begin{eqnarray} f(x)=\sum\limits_{k=0}^{6}p_k x^k, \quad \sum p_k=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x)=f(x)\cdot w(x) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x)=\frac {g(x)}{ w(x)} \end{eqnarray}$ mittels Polynomdivision ergibt sich $\begin{eqnarray} f(x)=\tfrac 12 x^0+\tfrac 12 x^6=\tfrac 36 x^0+\tfrac 36 x^6 \end{eqnarray}$ und somit die gesuchte Verteilung. Man könnte auch eine Münze mit $\begin{eqnarray} \{0,6\} \end{eqnarray}$ als Ersatz verwenden
16.07.2019, 14:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Faltung derart diskreter Verteilungen als Verteilung der Summe kann man auch über die Multiplikation entsprechender erzeugender Funktionen erreichen (wir hatten da mit Mystic ja mal einen ganz besonderen Fan dieser Art Rechnungen hier im Board, ist jetzt aber leider schon über 6 Jahre nicht mehr hier gesichtet worden).

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