Basis eines vierdimensionalen Raumes

12.07.2019, 11:44	Rosalie26	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines vierdimensionalen Raumes Stimmt es, dass vier linaer unabhängige Vektoren des vierdimensionalen Raumes schon eine Basis sind? Und wenn ja wieso ist das so? Bedeutet das, dass ich um eine Basis eines vierdimensionalen Raumes zu finden, einfach vier voneinander unabhängige Vektoren finden muss?
12.07.2019, 12:05	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Hat man vier Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray}$ , dann lassen sich diese über $\begin{eqnarray} v_k = \begin{pmatrix}v_{1k} \\ v_{2k}\\ v_{3k}\\ v_{4k}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Spaltenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{12} & v_{13} & v_{14}\\ v_{21} & v_{22} & v_{23} & v_{24}\\ v_{31} & v_{32} & v_{33} & v_{34}\\ v_{41} & v_{42} & v_{43} & v_{44} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ betrachten. Da die Vektoren linear unabhängig sind, ist die Matrix invertierbar, bildet also eine linearen Automorphismus auf dem Koordinatenraum $\begin{eqnarray} K^4 \end{eqnarray}$ . Demnach handelt es sich um eine Basiswechselmatrix, es gilt $\begin{eqnarray} v_k = Ae_k \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (e_k) \end{eqnarray}$ die kanonische Basis ist.

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