Hyperkomplexe Zahlen

12.07.2019, 14:11	franzqwer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperkomplexe Zahlen Es git ja bekanntlich (Hamilton) i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 Jedoch hat das Polynom Z^2 + 1 m.W. nicht 3, sondern unendlich viele Nullstellen. Stimmt das?
12.07.2019, 16:28	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hyperkomplexe Zahlen Seien $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ reelle Zahlen. Setze z. B. $\begin{eqnarray} z=aI+bJ \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} z^2=-1 \end{eqnarray}$ ergibt sich eine Bedingung an $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ , die zu weiteren Lösungen führt.
12.07.2019, 16:54	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so einfach, man braucht es eigentlich bloß aufdröseln, ohne weiteres Nachdenken. Sei $\begin{eqnarray} z=x_0+x_1 i+x_2 j+x_3 k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec x = x_1 i+x_2 j+x_3 k \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} (x_0+\vec x)(y_0+\vec y) = x_0y_0-\langle\vec x,\vec y\rangle + x_0\vec y+y_0\vec x+\vec x\times\vec y \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} (x_0+\vec x)^2 = x_0^2-\|\vec x\|^2 + 2x_0\vec x. \end{eqnarray}$ Für Gleichung $\begin{eqnarray} 0 = z^2+1 = x_0^2-\|\vec x\|^2+2x_0\vec x+1 \end{eqnarray}$ setzte z.B. $\begin{eqnarray} x_0:=0 \end{eqnarray}$ , dann vereinfacht sich die Gleichung zu $\begin{eqnarray} \|\vec x\|^2=1. \end{eqnarray}$ Davon gibt es bekanntlich unendlich viele.
12.07.2019, 18:22	franzqwer1	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Huggy, Finn Danke!

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