Fortsetzbarkeit eines Prämaßes

13.07.2019, 11:52

TomMathe200

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Fortsetzbarkeit eines Prämaßes

Hallo liebes Forum,
im Zuge der Aufarbeitung meiner Maßtheorie-Vorlesung bin ich auf folgendes Beispiel gestoßen:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine überabzählbare Menge, $\begin{eqnarray*} R:=\{ A \in P(X) : A \ endlich \} \end{eqnarray*}$
mit dem Prämaß $\begin{eqnarray*} \mu: R \rightarrow [0, \infty], \mu(A)=0 \ \forall A \in R \end{eqnarray*}$
Die zugehörige Sigma-Algebra ist dann: $\begin{eqnarray*} \sigma (R) = \{ a \in P(X): A\ oder \ A^c \ höchstens \ abzählbar\} \end{eqnarray*}$

Mit dem Forsetzungssatz kann man nun $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ zu einem Maß $\begin{eqnarray*} \mu' \end{eqnarray*}$ auf dieser Sigma-Algebra fortsetzen, z.b mit $\begin{eqnarray*} \mu'(A) = \begin{cases} 0 & A \ höchstens abzählbar \\ r & A \ überabzählbar \end{cases} \end{eqnarray*}$

Warum soll es überabzählbare Mengen in $\begin{eqnarray*} \sigma (R) \end{eqnarray*}$ geben? Das Maß wäre doch dann gar nicht definiert. Woe liegt mein Fehler? verwirrt

verwirrt

13.07.2019, 13:29

IfindU

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Es gibt überabzählbare Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar. Z.b. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ selbst, da $\begin{eqnarray*} X^c=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

13.07.2019, 13:42

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Ach ja . Vielen Dank.

Ich habe noch eine Frage dazu. Es gibt also überabzählbare Mengen in der Sigma-Algebra. Wenn man sich jetzt zwei disjunkte Menge A und B hernimmt, dann wäre doch schon die endliche Additivität verletzt, denn: $\begin{eqnarray*} r=\mu'(A \cup B) \ne \mu' (A) + \mu'(B)=2r \end{eqnarray*}$
Oder würde eine solche Konstruktion egtl ausgeschlossen sein, da die Komplemente abzählbar sein müssen und wegen der Disjunktheit von A und B müsste gelten, $\begin{eqnarray*} B \subset A^c \end{eqnarray*}$ , das ist ein Widerspruch. D.h also es gibt überabzählbare Menge in der Sigma-Algebra, die aber nicht disjunkt sein können?

13.07.2019, 14:10

IfindU

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Beide Überlegungen sind richtig. Gäbe es die solche Mengen, ist die Additivität sofort verletzt. Aber es gibt sie nicht Freude

Freude

13.07.2019, 14:37

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Danke smile

smile

Noch eine letzte Frage: Wie man sieht gibt es ja mehrere Fortsetzungen, da man r entprechend wählen kann. Das liegt daran dass man X nicht mit einer Folge abzählbarer Mengen überdecken kann. Also ist $\begin{eqnarray*} \mu' \end{eqnarray*}$ nicht sigma-endlich oder?

13.07.2019, 14:45

IfindU

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Sigma-endlich ist das Maß. Es ist sogar endlich (wenn $\begin{eqnarray*} r < \infty \end{eqnarray*}$ ).

Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sich nur trivial zerlegen lassen kann. Aus $\begin{eqnarray*} X = A \cup A^c \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} A \in \sigma(R) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \mu(A) = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mu(A^c) = 0 \end{eqnarray*}$ .

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13.07.2019, 15:01

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Ich verstehe das Problem nicht. Wenn das Maß sigma-endlich ist, warum gibt es dann mehrere Fortsetzungen.

13.07.2019, 16:59

IfindU

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Wikilink zur Eindeutigkeit

Ich nehme an du beziehst dich auf diesen Satz. Eine Voraussetzung ist die Existenz von $\begin{eqnarray*} E_1, E_2, \ldots \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X = \bigcup_{n = 1}^\infty E_i \end{eqnarray*}$ . Bei dir ist die Eigenschaft nur gegeben, wenn der Erzeuger um eine überabzählbare Menge ergänzt. Und diese Menge hat dann Maß $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , wodurch es nicht mehr mehrdeutig fortgesetzt werden kann.

13.07.2019, 17:59

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Ich meine egtl folgenden Satz:
Sei $\begin{eqnarray*} R \subset P(X) \end{eqnarray*}$ ein Ring $\begin{eqnarray*} \mu: R \rightarrow [0, \infty] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ endliches Prämaß. Dann ist $\begin{eqnarray*} \mu' \end{eqnarray*}$ (also dieses Maß, bei dem das Infinum über alle Überdeckungen der "gemessenen " Menge betrachtet wird) von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ die einzig mögliche Fortsetzung.

Ich habe nochmal bisschen geblättert und gefunden, dass $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \sigma- \end{eqnarray*}$ endlich ist, da $\begin{eqnarray*} X= \bigcup_j A_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_j \in R \end{eqnarray*}$ unmöglich ist.

Ist das die richtige Begründung?

13.07.2019, 18:05

IfindU

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Dann muss ich mich entschuldigen. Ich wusste nicht, dass man bei Sigma-Endlichkeit die Existenz der Mengen im Ring statt nur der Sigma-Algebra fordert.

13.07.2019, 19:13

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Vielen Dank IfindU Freude

Freude

. Du hast mir wirklich sehr geholfen smile

smile

14.07.2019, 19:11

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Ich wollte nochmal fragen, wie man auf die Sigma-Algebra von R kommt.

Zitat:

Original von TomMathe200

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine überabzählbare Menge, $\begin{eqnarray*} R:=\{ A \in P(X) : A \ endlich \} \end{eqnarray*}$

Die zugehörige Sigma-Algebra ist dann: $\begin{eqnarray*} \sigma (R) = \{ a \in P(X): A\ oder \ A^c \ höchstens \ abzählbar\} \end{eqnarray*}$

Also es muss ja jede abzählbare Vereinigung in der sigma-Algebra liegen. Die abzählbare Vereinigung abzählbarere Mengen ist abzählbar. Zudem muss das Komplement von A enthalten sein. Wenn A endlich ist $\begin{eqnarray*} A^c = X \setminus A \end{eqnarray*}$ doch überabzählbar, also nicht abzählbar. Wo liegt da mein Fehler? verwirrt

verwirrt

14.07.2019, 19:17

URL

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
In dem Fall ist doch $\begin{eqnarray*} (A^c)^c=A \end{eqnarray*}$ endlich, also erst recht abzählbar.

14.07.2019, 20:05

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Ja ich mein aber, falls $\begin{eqnarray*} A \in \sigma(R) \end{eqnarray*}$ muss doch auch das Komplement enthalten sein. Das wäre ja nicht der Fall, weil das Komplement überabzählbar ist.

14.07.2019, 20:13

URL

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Wenn A endlich ist, dann ist $\begin{eqnarray*} A\in\sigma(R) \end{eqnarray*}$ . Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B:=A^c\in \sigma(R) \end{eqnarray*}$ ist.
Dazu muss $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar sein.
Aber $\begin{eqnarray*} B^c=(A^c)^c=A \end{eqnarray*}$ ist sogar endlich.

14.07.2019, 21:15

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Ich will eigentlich wissen warum die Sigma-Algebra von R dieses angegebene Gestalt hat. Weist du was ich meine?

14.07.2019, 22:02

URL

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
$\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ enthält R, also alle einelementigen Mengen, also alle abzählbaren $\begin{eqnarray*} \bigcup_i\{x_i\} \end{eqnarray*}$ und deren Komplemente. Man braucht also die abzählbaren und deren Komplement in der Sigma-Algebra.
Jetzt muss man sich nur überlegen, dass abzählbare Vereinigungen solcher Mengen auch dazu gehören. Da hilft ggf $\begin{eqnarray*} (\cup A_i)^c=\cap A_i^c \end{eqnarray*}$

15.07.2019, 08:58

TomMathe200

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ enthält R, also alle einelementigen Mengen, also alle abzählbaren $\begin{eqnarray*} \bigcup_i\{x_i\} \end{eqnarray*}$ und deren Komplemente. Man braucht also die abzählbaren und deren Komplement in der Sigma-Algebra.

Warum die Komplemente? Wie ich vorher schon gesagt habe, ist doch das Komplement von abzählbaren Mengen A, wegen $\begin{eqnarray*} A^c = X \setminus A \end{eqnarray*}$ überabzählbar, weil X überabzählbar ist oder nicht?

Abzählbarer Vereinigungen von abzählbaren Mengen sind abzählbar also gehören sie dazu.

15.07.2019, 15:15

URL

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RE: Fortsetzbarkeit eines Prämaßes
Wenn eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Element einer Sigma-Algebra ist, dann muss auch $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ Element dieser Sigma-Algebra sein. Das ist eine Eigenschaft einer Sigma-Algebra.
Wenn also die abzählbaren Mengen zu $\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ gehören, dann muss auch deren Komplement dazu gehören. Das hat überhaupt nichts damit zu tun, ob diese Komplemente abzählbar sind oder nicht.
Du hast allerdings Recht: Wenn B abzählbar ist, dann ist $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar.
Dennoch gehört $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ zur Menge $\begin{eqnarray*} \{ A\in P(X)|\text{ A oder } A^C \text{ höchstens abzählbar} \} \end{eqnarray*}$ . Zwar ist $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar, aber $\begin{eqnarray*} (B^c)^c=B \end{eqnarray*}$ ist es.

15.07.2019, 15:59

HAL 9000

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Aus beweistechnischen Gründen sollte man m.E. der "Zielmenge" erstmal eine eigene Bezeichnung geben, also z.B.

$\begin{eqnarray*} S := \left\{ A \in P(X):\; A\mbox{ oder }A^c\mbox{ höchstens abzählbar }\right\} \end{eqnarray*}$ .

Denn da $\begin{eqnarray*} \sigma(R)=S \end{eqnarray*}$ ja überhaupt erst nachgewiesen werden soll, sollte man diese Menge nicht gleich von vornherein mit $\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

URL hat oben ausgeführt, warum $\begin{eqnarray*} S\subseteq \sigma(R) \end{eqnarray*}$ gilt. Fehlt noch der andere Teil $\begin{eqnarray*} S\supseteq \sigma(R) \end{eqnarray*}$ , was z.B. durch den Nachweis geschehen kann, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist.

16.07.2019, 10:42

TomMathe200

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Zitat:

Original von HAL 9000
Fehlt noch der andere Teil $\begin{eqnarray*} S\supseteq \sigma(R) \end{eqnarray*}$ , was z.B. durch den Nachweis geschehen kann, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist.

Das würde doch einfach gelten, da sämtliche Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind und somit in S liegen oder?

17.07.2019, 01:25

URL

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Eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist wieder höchstens abzählbar. So weit, so gut.
Was ist aber z.B. im Fall $\begin{eqnarray*} A,B\in S \end{eqnarray*}$ wenn A höchstens abzählbar ist aber B nicht abzählbar? Dann ist $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar, aber warum ist $\begin{eqnarray*} A\cup B \in S \end{eqnarray*}$ ?

17.07.2019, 21:51

TomMathe200

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Das weis ich leider gerade nicht URL. Hast du da einen Ausweg? verwirrt

verwirrt

17.07.2019, 22:50

HAL 9000

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Genau genommen muss man abzählbare Vereinigungen $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_n\in S \end{eqnarray*}$ betrachten.

1.Fall: Alle $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ sind höchstens abzählbar. Der Fall ist dir anscheinend klar.

2.Fall: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit überabzählbarem $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A_k\in S \end{eqnarray*}$ ist dann dessen Komplement $\begin{eqnarray*} A_k^c \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar - was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} \left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right)^c = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n^c \end{eqnarray*}$ ?

Hinweis: Ein Mengendurchschnitt kann höchstens so groß sein wie die daran beteiligten Mengen, u.a. gilt also auch $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n^c \subseteq A_k^c \end{eqnarray*}$ .

19.07.2019, 10:45

TomMathe200

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Zitat:

Original von HAL 9000
Genau genommen muss man abzählbare Vereinigungen $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_n\in S \end{eqnarray*}$ betrachten.

2.Fall: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit überabzählbarem $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A_k\in S \end{eqnarray*}$ ist dann dessen Komplement $\begin{eqnarray*} A_k^c \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar - was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} \left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right)^c = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n^c \end{eqnarray*}$ ?

In diesem Fall muss der Schnitt dann höchstens abzählbar sein. Damit ist doch alles gezeigt oder?

Wir wissen jetzt, dass solche Vereinigungen aus Fall 2 in S liegen, wenn sie schon in sigma(R) waren.

19.07.2019, 10:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von TomMathe200
Wir wissen jetzt, dass solche Vereinigungen aus Fall 2 in S liegen, wenn sie schon in sigma(R) waren.

Hmm, vielleicht meinst du

Zitat:

Wir wissen jetzt, dass solche Vereinigungen aus Fall 2 in S liegen, wenn die Ausgangsmengen schon in S waren.

Zusammen mit den anderen (leichter nachzuweisenden) Eigenschaften wissen wir nun, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist, was wegen $\begin{eqnarray*} R\subset S \end{eqnarray*}$ dann unweigerlich $\begin{eqnarray*} \sigma(R)\subseteq \sigma(S) = S \end{eqnarray*}$ nach sich zieht.

19.07.2019, 11:22

TomMathe200

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Mit den anderen Eigenschaften meinst du sowas wie: $\begin{eqnarray*} \emptyset, X \in S \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ist endlich und $\begin{eqnarray*} X^c = \emptyset \end{eqnarray*}$ endlich
Und $\begin{eqnarray*} A,B \in S \rightarrow A\setminus B \in S \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} A \setminus B = A \cap B^c = (A^c \cup B)^c \in S \end{eqnarray*}$ wegen vorher oder?

19.07.2019, 11:26

HAL 9000

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Ja, so in etwa. Es gibt verschiedene alternative Definitionen einer Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ (die natürlich letztlich einander äquivalent sind), ich hatte folgende im Auge

(1) $\begin{eqnarray*} \Omega\in S \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} A\in S\;\Rightarrow\; \Omega\setminus A\in S \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} (A_n)_{n=1,2,\ldots}\in S\;\Rightarrow\; \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\in S \end{eqnarray*}$

19.07.2019, 11:32

TomMathe200

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Ich hätte noch eine Frage:

Zitat:

Original von HAL 9000
Aus beweistechnischen Gründen sollte man m.E. der "Zielmenge" erstmal eine eigene Bezeichnung geben, also z.B.

$\begin{eqnarray*} S := \left\{ A \in P(X):\; A\mbox{ oder }A^c\mbox{ höchstens abzählbar }\right\} \end{eqnarray*}$ .

Denn da $\begin{eqnarray*} \sigma(R)=S \end{eqnarray*}$ ja überhaupt erst nachgewiesen werden soll, sollte man diese Menge nicht gleich von vornherein mit $\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

URL hat oben ausgeführt, warum $\begin{eqnarray*} S\subseteq \sigma(R) \end{eqnarray*}$ gilt. Fehlt noch der andere Teil $\begin{eqnarray*} S\supseteq \sigma(R) \end{eqnarray*}$

Meinst du mit damit folgendes von URL:

Zitat:

Original von URL
Wenn eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Element einer Sigma-Algebra ist, dann muss auch $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ Element dieser Sigma-Algebra sein. Das ist eine Eigenschaft einer Sigma-Algebra.
Wenn also die abzählbaren Mengen zu $\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ gehören, dann muss auch deren Komplement dazu gehören. Das hat überhaupt nichts damit zu tun, ob diese Komplemente abzählbar sind oder nicht.
Du hast allerdings Recht: Wenn B abzählbar ist, dann ist $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar.
Dennoch gehört $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ zur Menge $\begin{eqnarray*} \{ A\in P(X)|\text{ A oder } A^C \text{ höchstens abzählbar} \} \end{eqnarray*}$ . Zwar ist $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar, aber $\begin{eqnarray*} (B^c)^c=B \end{eqnarray*}$ ist es.

Wie genau ist dann egtl das Argument. Er verwendet ja nicht Mengen aus S explizit?

19.07.2019, 11:40

HAL 9000

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Nein, ich meinte das:

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ enthält R, also alle einelementigen Mengen, also alle abzählbaren $\begin{eqnarray*} \bigcup_i\{x_i\} \end{eqnarray*}$ und deren Komplemente. Man braucht also die abzählbaren und deren Komplement in der Sigma-Algebra.

Das bedeutet letztlich $\begin{eqnarray*} S\subseteq \sigma(R) \end{eqnarray*}$ , also den ersten Beweisteil.

19.07.2019, 17:34

TomMathe200

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Aber da ist doch von S nicht die Rede?

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