Aufgabe zur Basis eines Kerns und Koordinatenvektoren

13.07.2019, 13:24

Rosalie26

Aufgabe zur Basis eines Kerns und Koordinatenvektoren

Hallo liebe alle,
ich habe ein Verständnisproblem, was folgende Aufgabe angeht:

Seien V und W Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Sei v1, v2, v3, v4 eine Basis B von V, und sei w1, w2, w3 eine Basis B´ von W. Sei f: V-->W eine lineare Abbildung mit

$\begin{eqnarray*} _{B'} M_{B} \mathbb (f) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 4 \\ -1 & 6 & 4 & 9 \\ 5 & -12 & -2 & -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Seien $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Koordinatenvektoren von Vektoren x, y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V bezüglich der Basis B.

1. Bestimmen Sie die BAsis von Kern(f).
2. Wie lauten die Korrdinatenvektoren von f(x) und f(y) bezüglich der Basis B´?

Leider bin ich wirklich Ansatzlos und habe daher die Musterlösung hergenommen. Doch auch mit dieser wird mir das nicht viel klarer.

Sie lautet:

Behauptung: Es ist 2v1 + v2 - v3, 3v1 + 2v2 - v4 eine Basis von Kern (f).

Beweis: Sei A= $\begin{eqnarray*} _{B'} M_{B} \mathbb (f) \end{eqnarray*}$ . Sei v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V mit Koordinatenvektor a, und sei b der Koordinatenvektor von f(v). Es gilt

v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Kern (f) ist äquivalent zu b= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu Aa= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu a ist Lösung des homogenen linearen Gleicungssystems Ax=0.

und so weiter...
Mir wäre schon geholfen, wenn mir jemand die Schritte bis hierher erklären könnte. Wieso überhaupt der Ansatz bzw. die Behauptung? Wie erschließe ich mir, dass das eine Basis vom Kern(f) ist? Wie komme ich darauf und was bedeuten die folgenden Schritte?

Ich wäre um Hilfe sehr dankbar unglücklich

. Liebe Grüße Wink

EDIT(Helferlein): Latex korrigiert. Sonderzeichen mag er nur in bestimmten Fällen.

14.07.2019, 01:50

klauss

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RE: Aufgabe zur Basis eines Kerns und Koordinatenvektoren
1.

Zitat:

Original von Rosalie26
Wieso überhaupt der Ansatz bzw. die Behauptung?

Frage ich mich hier auch. Wenn ich (als Praktiker) Kern(f) berechnen sollte, ohne dabei groß über den Weg zu dozieren, wäre meine "Musterlösung", die Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in normierte Zeilenstufenform zu bringen. Daraus lassen sich 2 lin. unabh. Spannvektoren des Kerns als eine Basis gewinnen, die dann tatsächlich mit den behaupteten Vektoren übereinstimmen.

2.
Wenn ich die Schreibweise richtig deute, ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bereits die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B und B'. Dann wären einfach die beiden Matrixprodukte
$\begin{eqnarray*} Mx=f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} My=f(y) \end{eqnarray*}$
zu berechnen.

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