Lineare Unabhängigkeit durch vollständige Induktion

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Rosalie26 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit durch vollständige Induktion
Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei ein K ein Körper, und sei V ein K-Vektorraum. Seien v1, v2,... vn linear unabhängige Vektoren in V. Beweisen Sie mit Induktion nach n, dass die Vektoren wi = , 1 i n, linear unabhängig sind.

Bisher kenne ich die Aufgaben zu vollständigen Induktion so, dass ich eine Art Gleichung habe, für die ich zeigen soll, dass diese gilt... Wie ich hier vorzugehen habe leuchtet mir nicht ganz ein.

Was aber natürlich klar ist, ist der Induktionsanfang für n=1:

Es folgt wi = also w1=v1. Da es sich um einen einzelnen Vektor handelt, ist dieser linear unabhängig.

Und nun? verwirrt
induk19 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da es sich um einen einzelnen Vektor handelt, ist dieser linear unabhängig.


Das stimmt zwar, aber mache es lieber mit Hilfe der Definition für lineare Unabhängigkeit unmissverständlich klar.

Zitat:
Für alle sind die Vektoren linear unabhängig


Nenne diese Aussage mal A(n). Zu zeigen ist, dass ebenso A(n+1) gültig ist und für diesen Schluss bzw. Induktionsschritt musst du A(n) nutzen, um auch wirklich zu beweisen, dass A(n+1) aus A(n) folgt und damit der gewünschte "Dominoeffekt" für alle natürlichen Zahlen einsetzt.

Denke für den Induktionsschritt wiederum auch an die Definition linearer Unabhängigkeit.

Falls du Probleme hast, dir den Sachverhalt bzw. die zu zeigende Aussage vorzustellen, dann schreibe es dir doch zunächst mal beispielhaft konkret für n=3 auf und formuliere A(3) mit eigenen Worten. Das könnte sich positiv für das Verständnis auswirken und im Idealfall direkt eine Idee für den Induktionsschritt liefern.
 
 
induk19 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Laufindex k beginnt natürlich in k=1, nicht in k=0.
Ich kann es leider nicht editieren als Gast.
Rosalie26 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also der Fall A(3) würde heißen, dass der Vekrot w3 aus einer Summe von 3 Vektoren besteht undzwar den Vektoren v1,v2 und v3. Also: w3= v1 + v2 + v3. Da aus meinem Induktionsanfang zu folgern ist, dass w1 linear unabhängig ist, könnte ich hier vielleicht besser umschreiben:

w3 = w2 + v3 = w1 + v2 + v3. (Jetzt habe ich zummindest einmal w1 dastehen...)

Doch leider weiß ich immer noch nicht richtig weiter...
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das direkt angehen: .
Daraus folgert man c=0 und dann mit der Induktionsvoraussetzung a=b=0 und damit die Behauptung.
induk19 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Rosalie26

Ausführlich aufgeschrieben könnte man es so angehen:

A(3) bedeutet bzw. drückt aus, dass die Vektoren w1,w2 und w3 linear unabhängig sind.
Es gilt laut Definition der w-Vektoren wiederum w1=v1 und w2=v1+v2 und w3=v1+v2+v3

Betrachtet man nun nach der Definition für lineare Unabhängigkeit (hast du dir diese mal klar gemacht ?) die Gleichung
und ersetzt gemäß der obigen Zusammenhänge die w-Vektoren durch die entsprechenden v-Vektoren, dann erhält man
und damit etwas umsortiert .

Da laut Aufgabenstellung v1, v2,... vn linear unabhängige Vektoren in V sind, gilt folglich:

a3=0 und a2+a3=0 und a1+a2+a3=0 und somit a1=a2=a3=0, wodurch bewiesen ist, dass w1,w2 und w3 linear unabhängig sind.

Denkt man jetzt einen Schritt weiter, also an A(4), dann müsste man ja zeigen, dass w1,w2,w3 und w4 linear unabhängig sind.
Nimmt man also noch einen Vektor w4 dazu, dann kann man in der Gleichung ja ausnutzen,
dass w4=v1+v2+v3+v4, was ergibt.
Da alle v-Vektoren laut Aufgabe als linear unabhängig definiert werden, folgt direkt und zusammen mit der Gültigkeit von A(3) gilt ebenso , womit A(4) bewiesen ist. Wir haben also A(3) benutzt, um A(4) zu nachzuweisen.

Wenn du diese Idee nun allgemein für n nutzt, dann hast du es geschafft.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder gleich so.

Es seien die Skalare, so daß ist. Dann formt man um:



Für den Anfänger nicht unmittelbar durchschaubar ist vielleicht die Vertauschung der Summationen über und . Am besten denkt man sich die wie in einer Matrix mit als Zeilen- und als Spaltennummer angeordnet. Dann ergibt sich ein dreieckiges Schema, und die Summationsbereiche werden offenkundig.

Jedenfalls folgt wegen der letzten Darstellung aus der linearen Unabhängigkeit der jetzt



Und das ist ein homogenes lineares Gleichungssystem in Dreiecksgestalt, dessen Matrix in der Hauptdiagonalen nur Einsen enthält, womit die triviale Lösung die einzige ist.

Ich behaupte nicht, daß mein Vorschlag besser, kürzer oder eleganter ist. Vor allem ist hinter den Summenzeichen ja auch eine Induktion versteckt, die nur nicht explizit benannt wird. Aber für den Anfänger sind solche Summenübungen auf jeden Fall nützlich. Doppelsummen begegnen einem in einem Mathematikerleben immer wieder.
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