Sternprodukt (Algebra)

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13.07.2019, 22:04	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
Sternprodukt (Algebra) Meine Frage: Hallo zusammen, vielleicht kann mir hier jemand mit dem Lösungsweg der unten stehenden Aufgabe helfen. Besondes zu b) wäre ich sehr dankbar. Sei (R, +, ) ein kommutativer Ring. Wir definieren eine neue Verknüpfung auf R als °: R -->R, (r,s) -> r + s + r s. Zeigen Sie : a) (R, °) ist ein kommutatives Monoid mit neutralem Element 0. b) r besitzt ein inverses Element in (R, °) genau dann, wenn 1 + r eine Einheit in (R, +, ) ist. Meine Ideen:* Meine Idee zu a) wäre die Menge R auf Assoziativität, Kommutativität und das neutrale Element e = 0 zu prüfen. 1. Assoziativität Für alle a,b,c ? R gilt : (a°b)°c = a°(b°c) 2. Kommutativität Für alle a,b ? R gilt : a°b = b°a 3. neutrales Element e Für alle a ? R existiert e = 0, so dass a°e = a und e°a = a . Ich bin mir nur nicht sicher ob das so wie ich es hier gemacht habe ausreicht. zu b) Wir haben also ein invertierbares Element, wenn dieses Element = 1 + r ist. Somit ist r in (R, °) invertierbar.. Hier komme ich leider nicht weiter, da ich beim besten Willen nicht weiss, wie ich das zeigen soll.. Ich freu mich über jede Hilfe. Vielen Dank schonmal im Voraus =)
13.07.2019, 23:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Verwende die folgende Identität, sie macht die ganzen Rechnungen übersichtlicher und hilft auch bei b). $\begin{align} r+s+rs = (1+r)(1+s)-1 \end{align}$
14.07.2019, 16:38	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Leopold Zu a) hab ich es jetzt so probiert, (1) ist assoziativ, denn (a°b)°c = a°(b°c) (r°s)°t = (r+s+rs)°t = (r+s+rs) t + r + s +rs + t = rst + st + rt + rs + r + s + t und r°(s°t) = rst + st + rt +rs + r + s + t analog. (2) ist kommutativ, da für die Addition stets a + b = b + a r + s = s + r gilt; für die Multiplikation stets a * b = b * a r * s = s * a gilt. (3) Es gilt r ° 0 = r0 + r + 0 = r also ist 0 das neutrale Element 0. Meint ihr das passt so? Bei b) komme ich leider nicht weiter
14.07.2019, 16:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum schreibst du manches zweimal auf, einmal mit r,s, dann mit a,b? Sonst paßt das. Dann zeige ich dir einmal meinen Vorschlag bei der Assoziativität. Ich verwende die alternative Definition $\begin{align} r \star s = (1+r)(1+s)-1 \end{align}$ . $\begin{align} \left( a \star b \right) \star c = \left( (1+a)(1+b)-1 \right) \star c = \left( 1+ (1+a)(1+b)-1 \right) \left( 1 + c \right) -1 = (1+a)(1+b)(1+c)-1 \end{align}$ Die Kommutativität des Sternprodukts ist trivial. Also gilt $\begin{align} a \star \left( b \star c \right) = \left( b \star c \right) \star a \end{align}$ . Und das ist bis auf eine Umbenennung dasselbe wie eben, führt also auf $\begin{align} (1+b)(1+c)(1+a)-1 \end{align}$ Und wie bereits gesagt, folgt b) ganz schnell mit dem alternativen Ansatz.
14.07.2019, 18:04	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte um es zu veranschaulichen für die Aufgabe ^^ Danke für die schnelle Antwort, alles nachvollziehbar und gut zu b) ich schau seit 15min auf die Umformung r + s + rs = (1 + r)(1 +s) - 1 ich seh den Zusammenhang einfach nicht.. wenn 1 + r = Einheit in (R,+,) d.h. r + 1 ist invertierbar = (r + 1) ^-1 = 1 / (r + 1) und in einem Ring ist nur das neutrale Element e invertierbar. Also muss e = 1 und r = 0 sein . Da wir ja in a) gezeigt haben, dass (R, °) neutrales Element e = 0 besitzt und auch in einem Monoid nur e invertierbar ist, besitzt r ein inverses Element in (R,). Hmm.. das ist meine Überlegung dazu... Korrigiert mich, wenn ich was falsch verstanden habe
14.07.2019, 19:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem Ring ist unter Umständen nicht nur das Einselement invertierbar. Im Ring $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ der ganzen Zahlen zum Beispiel sind $\begin{align} 1,-1 \end{align}$ invertierbar. Multiplikativ invertierbare Elemente eines Rings nennt man Einheiten des Rings. $\begin{align} 1,-1 \end{align}$ sind also die Einheiten in $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ . Im Ring $\begin{align} \mathbb{Z}_9 = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \} \end{align}$ der ganzen Zahlen modulo 9 sind $\begin{align} 1,2,4,5,7,8 \end{align}$ invertierbar, also Einheiten. Vielleicht liegen ja deine ganzen Probleme nur an diesem Irrtum.
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14.07.2019, 19:51	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
verständlich aber leider nein
14.07.2019, 20:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} r \in R \end{align}$ gelte, daß $\begin{align} 1+r \end{align}$ eine Einheit ist. Es gibt daher ein $\begin{align} t \in R \end{align}$ mit $\begin{align} (1+r)t = 1 \end{align}$ (das ist gerade die Definition einer Einheit). Und jetzt definierst du dir einfach $\begin{align} s \in R \end{align}$ durch $\begin{align} 1+s = t \end{align}$ (das geht, denn die Addition ist in einem Ring immer umkehrbar). Jetzt setze das oben ein und beachte die Definition des Sternprodukts, wie ich sie vorgenommen habe. Nehmen wir konkret das Beispiel $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ . Hier gilt zum Beispiel $\begin{align} (-3) \star 10 = -23 \end{align}$ oder $\begin{align} 5 \star 9 = 59 \end{align}$ . Das neutrale Element bezüglich des Sternprodukts ist 0. Für alle $\begin{align} a \in \mathbb{Z} \end{align}$ gilt: $\begin{align} a \star 0 = a \end{align}$ . Wenn b) richtig ist, müßte auch $\begin{align} r=-2 \end{align}$ invertierbar sein: $\begin{align} (-2) \star x = 0 \end{align}$ , denn $\begin{align} -2+1 = -1 \end{align}$ ist eine Einheit in $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ . Wie lautet die Lösung $\begin{align} x \end{align}$ ?
14.07.2019, 23:44	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
x = -2
15.07.2019, 16:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist's. Ist jetzt alles klar oder gibt es noch Fragen?
15.07.2019, 16:48	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also ich wüsste jetzt nicht wie ich das am besten zu Papier bringe.. Das ist Teil einer Übung zur Klausurvorbereitung, deshalb wäre es gut zu wissen Und zu a) hätte ich noch die Frage, ob ich noch die Abgeschlossenheit zeigen müsste und warum die Kommutativität für das Sternprodukt trivial ist
15.07.2019, 17:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke nicht, daß du zur Abgeschlossenheit etwas sagen mußt. Durch die Vorgabe $\begin{align} \star: \, R \times R \to R \, , \ \ (r,s) \mapsto r \star s = r+s+rs = (1+r)(1+s)-1 \end{align}$ wird sie ja bereits unterstellt (es muß im Definitionsbereich übrigens $\begin{align} R \times R \end{align}$ heißen). Im übrigen ist es dem Konzept Ring inhärent, daß Addition und Multiplikation nicht aus dem Ring hinausführen und somit $\begin{align} r+s+rs \end{align}$ ein Ringelement ist. Da $\begin{align} R \end{align}$ als kommutativ vorausgesetzt wird (worin sich kommutativ ja auf die Multiplikation bezieht, da die Addition in einem Ring immer als kommutativ vorausgesetzt wird), ist $\begin{align} r \star s = (1+r)(1+s)-1 \end{align}$ dasselbe wie $\begin{align} s \star r = (1+s)(1+r)-1 \end{align}$ . Das ist so offensichtlich, daß ich bei der Kommutativität des Sternprodukts von trivial gesprochen habe. Ich denke, das darfst du bei der Lösung der Aufgabe auch tun. Halten wir fest, was wir schon haben: - $\begin{align} R \end{align}$ ist abgeschlossen bezüglich $\begin{align} \star \end{align}$ - $\begin{align} \star \end{align}$ ist kommutativ - $\begin{align} \star \end{align}$ ist assoziativ (siehe deine Lösung oder meine Alternativlösung) Das neutrale Element ist $\begin{align} 0 \end{align}$ , denn $\begin{align} a \star 0 = (1+a)(1+0)-1 = 1+a-1 = a \end{align}$ . Jetzt fehlt nur noch b). Aber das solltest du nun einmal selber vollständig aufschreiben.
15.07.2019, 19:47	Darkwingduck	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, nochmal vielen Dank. Ich probier `s

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