Wärmeleitprozess in 3D mit Randbedingungen lösen

14.07.2019, 15:02	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitprozess in 3D mit Randbedingungen lösen Meine Frage: Hallo, Ich habe folgendes Problem: Ich habe einen stationären Wärmeleitprozess im Gebiet $\begin{eqnarray} \Omega=B_r(0) \subset \mathbb R^3=\{x \in \mathbb R : \|\|x\|\|<r\} \end{eqnarray}$ Der Prozess wird wie folgt beschrieben: $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y,z)=f(x,y,z),x\in B_r(0), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u\|_{\delta \Omega } = \bar{u} \end{eqnarray}$ mit den Randwerten: $\begin{eqnarray} \bar{u_1}(x,y,z)=1, \forall(x,y,z)\in \delta \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar{u_2](x,y,z)=1+sin(\frac{\pi}{r}z), \forall(x,y,z) \in \delta \Omega \end{eqnarray}$ Die jeweiligen Lösungen sind bezeichnet mit $\begin{eqnarray} u_1(x,y,z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2(x,y,z) \end{eqnarray}$ Nun soll ich den maximalen Temperaturunterschied $\begin{eqnarray} \|\|u_1-u_2\|\|_\infty \end{eqnarray}$ bestimmen und eine Formel für den Temperaturunterschied im Punkt (0,0,0) bestimmen. Meine Ideen: Die erste Idee von mir war es die Trennung der Variablen zu probieren, da $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y,z) = f(x,y,z) \end{eqnarray}$ ja $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Leider habe ich dann doch keine Ahnung wie hierbei die allgemeine Lösung in 3D aussieht. Wie muss ich nun weiter machen? Ist Trennung der Variablen hier überhaupt der beste Ansatz? Viele Grüße Matherialist
14.07.2019, 16:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wärmeleitprozess in 3D mit Randbedingungen lösen $\begin{eqnarray} u_1-u_2 \end{eqnarray}$ ist eine harmonische Funktion. Wenn ich mich recht erinnere, liegen die Extrema dann am Rand.

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