Injektivität prüfen

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Elm00 Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität prüfen
Meine Frage:
Guten Tag,
irgendwie stehe ich bei der Überprüfung von Funktionen auf Injektivität aufm Schlauch.



Meine Ideen:
Nach der Definition ist eine Funktion ja Injektiv wenn gilt f(x`)= f(x)

Nun kann ich ja eine funktion immer so umformen das am ende x´=x dort steht da ich diese ja gleich setzte oder nicht?

Bsp. f: R->R, f(x)=x^2

Diese funktion ist natürlich nicht Injektiv da ich für x=-1 und x=1 einsetzen kann und so mit zu einem y zwei x zugewiesen werden können.

Wenn ich dies nun aber formal überprüfen will und x´^2 = x^2 setze und aus beiden Seiten die Wurzel ziehe komme ich doch auf x´ = x oder nicht und somit wäre die Funktion Injektiv....

Bestimmt hab ich nur nen dummen Denkfehler wäre super wenn mir dabei wer helfen könnte, da ich Dienstag Klausur schreibe smile

Danke im Vorraus
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inketivität Prüfen
Injektivität heißt, dass aus immer folgt.
Das ist bei deinem Beispiel eben nicht der Fall.
Abgesehen davon folgt aus nur . Wenn du dich jetzt nur auf positive Argumente beschränkst, dann folgt . Und das passt ja auch, weil die Parabel im rechten Ast streng monoton und damit injektiv ist.
Elmoo Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich den Nachweis den ich oben geführt habe nur im Zahlenberreich der positiven zahlen führen z.B in den Nat.Zahlen?

Wie würde der Beweis aussehen wenn ich mich wie oben in den Reellen Zahlen bewege?

Durch ausprobieren bei komplexeren versuchen scheint mir recht langwierig.

Danke schon mal !!
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Welcher Beweis? Du kannst nicht beweisen, dass auf injektiv ist.
Aus , also folgt immer .
Sind x,y positive reelle Zahlen, dann folgt x=y. Also ist auf den positiven reellen Zahlen injektiv.
Elm00 Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen die funktion wäre f: N -> N f(x)=x^2

dann könnte ich x^2 = y^2 setzen da wir uns ja sowieso nur in den positiven zahlen bewegen.
Also muss ich mit der Herangehensweise aufpassen wenn der Zahlenbereich ins Negative geht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst deine Herangehensweise nicht anpassen, du musst dein Verständnis anpassen. Du hast bewiesen, dass nicht injektiv ist, weil . Also ist die Funktion nicht injektiv und es ist unmöglich zu beweisen, dass sie injektiv ist.

Völlig unabhängig davon kann eine andere Funktion entweder injektiv sein oder nicht injektiv sein. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht. Eine Funktion ist nicht "ein bißchen injektiv", genau so wie eine Frau nicht "ein bißchen schwanger" ist. Entweder oder, tertium non datur.
 
 
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